[求助]求最小值

周艳辉

luyuanhong

用软件可以求得：当 X1=2 ，X2=1 ，X3=1 时，f(X1,X2,X3)=1/2 是它的最小值。

周艳辉

能用具体的方法来做吗

ysr

奥,是不难吧,绝对值都是大于等于0的,1个个试,很快得出结果!

luyuanhong

此题求解如下：

概率考

能否推广呢？比如a,b,c,d是已知的正常数，且a>=b>=c>=d.求f(x,y,z)=|x-a|+|y-b|+|z-c|+|xy/z-d|的最小值
是否推广n元的？

luyuanhong

下面引用由概率考在 2012/05/11 08:34pm 发表的内容：
能否推广呢？比如a,b,c,d是已知的正常数，且a>=b>=c>=d.求f(x,y,z)=|x-a|+|y-b|+|z-c|+|xy/z-d|的最小值
是否推广n元的？

题  已知 a≥b≥c≥d＞0 ，求 f(x,y,z)＝|x-a|+|y-b|+|z-c|+|yz/x-d| 的最小值。

解  当 x＝a ，y＝b ，z＝c 时，有
    f(a,b,c)＝|a-a|+|b-b|+|c-c|+|bc/a-d|＝|bc/a-d| 。
    非常有可能，这就是本题要求的最小值。
    要严格证明这一点，比较困难，但是，可以不严格地大致说明如下：
    首先，容易看出，当 f 取到最小值时，x 应该在 a 的邻域中，y 应该在 b 的邻域中，
z 应该在 c 的邻域中。
    当 y＝b ，z＝c 取定时，f＝|x-a|+|bc/x-d| 。x-a 关于 x 的导数是 1 ，bc/x-d 关于
x 的导数的绝对值是 bc/x^2 ，当 x≈a 时， bc/x^2≈bc/a^2≤1 。可见，在 |x-a| 中 x
的变化对 f 的影响，大于在 |bc/x-d| 中 x 的变化对 f 的影响，所以，f 要取到最小值，应
该优先考虑 |x-a| ，首先要使得 |x-a|＝0 ，也就是说，必须要有 x＝a 。
    当 x＝a ，z＝c 取定时，f＝|y-b|+|yc/a-d| 。y-b 关于 y 的导数是 1 ，yc/a-d 关于
y 的导数是 c/a≤1 。可见，在 |y-b| 中 y 的变化对 f 的影响，大于在 |yc/a-d| 中 y 的
变化对 f 的影响，所以，f 要取到最小值，应该优先考虑 |y-b| ，首先要使得 |y-b|＝0 ，
也就是说，必须要有 y＝b 。
    当 x＝a ，y＝b 取定时，用与上面类似的推理，可以推知，这时 f 要取到最小值，必须要
有 z＝c 。