[原创]费马数只有有限个素数

unlise

[watermark]我们知道，尚未判定是合数还是质数的最小费马数是 F33。其实早在1877年，数学家佩平得出一个重要的判据结果：费马数Fn是素数，当且仅当F5整除3^(Fn-1)/2+1 。在这里我们假令Fn为素数。则3^(Fn-1)/2+1≡0（modF5）其中n.>5
而F5=(5×27+1)×(3×17449×27+1)故只要用F5的一个因子641来检验即可。
由欧拉定理可知：3^(5×2^7) ≡1(mod641)
而易知当n>5时，有2^n-1≡3 (mod4)
即(Fn-1)/2=2^(2^n-1) ≡2^3 (mod5)
2^(2^n-1) ≡2^（3+4）=2^7  (mod5×2^7)
由此可得3^(Fn-1)/2+1=3^(2^(2^n-1))+1≡3^2^7+1=3^128+1 ≡366^8+1≡169^2+1 ≡357+1≠0 (mod641)也就是说3^(Fn-1)/2+1不能整除641。由佩平费马数判定定理得。Fn(n.>5)不是素数，即Fn(n.>5)是合数，证毕。
欢迎交流[/watermark]

unlise

申明,本贴中佩平法则(Pépin';s Theorem)有错,正确的Pépin';s Theorem为:Fn为素数则3^(Fn-1)/2+1≡0（modFn）.见http://mathworld.wolfram.com/PepinsTest.html及http://mathworld.wolfram.com/PepinsTheorem.html该法则引自韩雪涛个人主页,参见http://www.oursci.org/magazine/200403/0316.htm.本证明无效.由此引起的不便,我向大家道歉.
关于该公式,本人询问个韩雪涛先生,他也不知其证明过程.下面是本人与韩先生的通信.
韩先生你好,你的主页不能登陆了好贵憾.我想请教你一个问题.你曾介意说:1877年，数学家佩平得出一个重要的判据结果：费马数Fn是素数，当且仅当F5整除3^(Fn-1)/2+1 。这个定理有证明吗,能否将证明过程告诉我.谢谢.
汪洋
下面是他的回信
谢谢光顾我以前的个人主页。那是一个交费主页，后来发现服务越来越差就在过期后没有续费，于是便暂停了。目前正在寻找一家可靠的、服务好些的服务商。几天后应能重新开通，新的主页地址在开通后会通知你。还望继续光顾。
你提到的这一定理的证明我也没见到过。如果有机会见到再交流。
祝好
----- Original Message -----
本人见一次向数学界的朋友道歉

wangyangkee

俞根强，俞家的根强不强，  就看你闹蠢货响亮不响亮哟，，，