博奕问题

simpley

甲乙两人轮流报数，每人都只能报1,2，3，5，7中的一个，把两人报的数累加，如果某个人报完数后，累加的和第一次为三位数，那么这个人就获胜，请问：谁有必胜策略？

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2012/05/28 07:46am 第 1 次编辑]

逆推法：设每次报数的和为S，
当S≥100时，你胜。100是个胜利点。请记住它。
当S=99时，你失败。（对方任意报一个数字，结果都为三位数）
当S=98时，你失败。（对方报2，3，5，7之中一个数字，结果也都为三位数）
同样分析得到：当S=97时，你失败。
当S=96时，你失败。
当S=95时，你失败。
当S=94时，你失败。
当S=93时，你失败。
而当S=92时，你胜。92也是个胜利点。也请记住它。
……
依此类推，胜利点为92，84，76，68，60，52，44，36，28，20，12
而1，2，3，5，7任意取两数之和，只有5+7=12，所以
报数为5（或7），对方必然可以抢报7（或5），从而失去胜利点，
所以游戏变成了抢夺报S=12。
……

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/05/28 04:25pm 第 1 次编辑]

题  甲乙两人轮流报数，每人都只能报 1，2，3，5，7 中的一个，把两人报的
数累加，如果某个人报完数后，累加的和第一次达到三位数，那么这个人就获胜，
请问：谁有必胜策略？

解  如果我方报数后，累加的和达到某一点，使得下一步对方报数者必败，我方
必胜，则称此点为“胜点”。
    如果我方报数后，累加的和达到某一点，下一步对方报数者可以设法取胜，
使得我方失败，则称此点为“败点”。
    可以看出，99，98，97，96，95，94，93 都是“败点”，因为下一步对方
只要报数字 7 ，就可以使得累加和达到三位数，使得我方失败。
    92 是一个“胜点”，因为下一步对方无论报什么数，我方都可以报数字 7 ，
使得累加和达到三位数，我方就可以取胜。
    88 是一个“胜点”，因为如果下一步对方报 1，2，3，我方可以报 3，2，1，
抢到“胜点”92 ；如果下一步对方报 5，7，我方可以报 7，5，使得累加和为三
位数 100 ，我方也可以获胜。
    84 是一个“胜点”，因为如果下一步对方报 1，2，3，我方可以报 3，2，1，
抢到“胜点”88 ；如果下一步对方报 5，7，我方可以报 3，1，抢到“胜点”92 。
    80 是一个“胜点”，因为如果下一步对方报 1，2，3，我方可以报 3，2，1，
抢到“胜点”84 ；如果下一步对方报 5，7，我方可以报 3，1，抢到“胜点”88 。
    ……
    依此类推，可以看出，从 92，88，84，… 开始，一直到 4，0 ，凡是 4 的倍数
的累加和，都是“胜点”。
    而此外不是 4 的倍数的累加和，都是“败点”，因为这时对方可以设法报数抢到
“胜点”，使得我方失败。
    由于一开始的累加和为 0 ，是个“胜点”，所以下一步谁先开始报数，谁就会失败，
而第二个报数者，只要每次注意抢到“胜点”，就可以获胜。