写一题给《论写坛坛主》证明：此题对坛主来说应该是简单？

北极

求证：一个自然数平方不能分成三个相连自然数的平方和

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2012/05/30 10:16am 第 1 次编辑]

楼主的问题等价于：
证明：任何一个平方数减去 2，不可能是 3 的倍数。
例如，4-2=2 不是 3 的倍数，
     9-2=7 不是 3 的倍数，
   16-2=14 不是 3 的倍数，
   25-2=23 不是 3 的倍数，
   36-2=34 不是 3 的倍数，
   …………………………
具体证明如下：
    设某个平方数是 A^2， A 的取值可能有三种情况：
    A = 3n，A = 3n+1，A = 3n+2，
    相应的， A^2 - 2 对应等于：
    9 n^2 - 2，9 n^2 + 6n - 1， 9 n^2 +6n  + 2，
    很明显，无论 n 取何数，上面三个数都不可能被 3 整除（余数分别为 1，2，2）。
现在再回到楼主的原题，设三个连续自然数的平方和是 （b - 1)^2 + b^2 + (b+1)^2 = 3b^2 + 2，这个值如果等于 k^2，则有：
     k^2 = 3b^2 + 2，
    也就是 k^2 -2 = 3b^2，
    可见 k^2 -2 必须是 3 的倍数才行，但这是不可能的。所以，三个连续自然数的平方和不可能是一个平方数。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 天山草 在 时添加 -=-=-=-=-
上面的证明对乎哉？

北极

牛题：整数a>0和n>5时，求证：n^2≠a^2+(a+1)^2 （百年不可能破解）

北极

求证：一个奇数立方不能分成两个相邻正整数的平方和
求证：一个偶数立方不能分成两个相邻偶数的平方和

webmaster

你研究很长时间了？
http://www.mathfan.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=3516
http://bbs.mathfan.com/archiver/?tid-3516.html

llz2008

下面引用由天山草在 2012/05/30 09:43am 发表的内容： 楼主的问题等价于：
证明：任何一个平方数减去 2，不可能是 3 的倍数。
例如，4-2=2 不是 3 的倍数，
     9-2=7 不是 3 的倍数，
   16-2=14 不是 3 的倍数，
 ...

楼主如果想到一些自认为有价值的东西，自己又不能证明，最好以求助的形式发帖，不要自己都不知道如何证明，就说成定理。数学公里更不是你一个人确定得了的。 你主楼提的问题，天山草先生不是给出了完善的证明吗！ luyuanhong教授也多次为你解答疑难。并且是不厌其烦。你应该学到不少东西了。 [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 llz2008 在 时添加 -=-=-=-=- 孔子说：举一隅不以三隅反，则不复也。孔子又说：有教无类。 孔子有时心里也是矛盾的。 只要脚踏实地，去做自己乐意或开心的事，不管收获如何，都是开心的。