若自然数前n项和及前n+k项和为相邻的两个完全平方数，猜测：Lim（k/n，n→∞）=2

0-1110

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若自然数前n项和及前n+k项和为相邻的两个完全平方数，
猜测：
Lim（k/n，n→∞）=2+2√2
现有数据：
n            (n+k)/n
1　
8            8
49           6.125
288          5.87755102
1681         5.836805556
9800         5.829863177
57121        5.828673469
332928       5.82846939
1940449      5.828434376
11309768     5.828428369
65918161     5.828427338
384199200    5.828427161
2239277039   5.828427126

[fly]奇哉：n奇偶交替[/fly]

0-1110

烦请先解决am这个递推式为通项公式，谢谢！

0-1110

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网上查了下，am涉及到Pell-Lucas number数列，看来没辙了：（
http://bbs.sachina.pku.edu.cn/stat/math_world/math/p/p181.htm

王守恩

0-1110 发表于 2012-6-1 21:13
[这个贴子最后由0-1110在 2012/06/01 09:16pm 第 1 次编辑]

网上查了下，am涉及到Pell-Lucas number数列， ...

谢谢 0-1110！题目看不懂：《整数序列在线百科全书(OEIS)》A115598。

王守恩

1, 8, 49, 288, 1681, 9800, 57121, 332928, 1940449, 11309768, 65918161, 384199200,
2239277041, 13051463048, 76069501249, 443365544448, 2584123765441, 15061377048200,
87784138523761, 511643454094368, 2982076586042449, 17380816062160328, ......

\(\displaystyle a(n)=\bigg\lfloor\bigg(\frac{(\sqrt{2}+1)^n}{2}\bigg)^2\bigg\rfloor\)

0-1110

这是10年前的老贴了，连我都忘记了，谢谢您的解惑！

王守恩

0-1110 发表于 2022-7-21 22:43
这是10年前的老贴了，连我都忘记了，谢谢您的解惑！

1, 8, 49, 288, 1681, 9800, 57121, 332928, 1940449, 11309768, 65918161, 384199200,
2239277041, 13051463048, 76069501249, 443365544448, 2584123765441, 15061377048200,
87784138523761, 511643454094368, 2982076586042449, 17380816062160328, ......

\(\displaystyle a(n)=\bigg\lfloor\bigg(\frac{(\sqrt{2}+1)^n}{2}\bigg)^2\bigg\rfloor\)

\(\displaystyle a(n+1)=\bigg\lfloor\bigg(\frac{(\sqrt{2}+1)^{n+1}}{2}\bigg)^2\bigg\rfloor\)

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a(n+1)}{a(n)}=(\sqrt{2}+1)^{2}=3+2\sqrt{2}\)