从红黄蓝球中选9个围成一圈，每种颜色至少有一个，旋转后相同算同一种，有几种做法？

luyuanhong

luyuanhong

下面是网友 王永喜 看了楼上的解答后，发的一个帖子：

您好，最后一句话为什么后面等价于减去3!/9再加3!/3，再加这个怎么做解释呢，

能不能详细点？谢谢

luyuanhong

luyuanhong 发表于 2017-12-26 21:40
下面是网友 王永喜 看了楼上的解答后，发的一个帖子：

您好，最后一句话为什么后面等价于减去3!/9再加3! ...

首先，在不考虑“旋转后相同算同一种”的情况下，我们已经算出，一圈 9 个固定位置不同的放法数为

           3^9-3×2^9+3 。

一般来说，以上这些放法中的每一种，旋转 9 次，可以得到 9 种不同的放法。例如：

“红红红红黄黄蓝蓝蓝”→“蓝红红红红黄黄蓝蓝”→“蓝蓝红红红红黄黄蓝”→“蓝蓝蓝红红红红黄黄”→“黄蓝蓝蓝红红红红黄”→

“黄黄蓝蓝蓝红红红红”→“红黄黄蓝蓝蓝红红红”→“红红黄黄蓝蓝蓝红红”→“红红红黄黄蓝蓝蓝红”。

按照题目给出的规定，“旋转后相同算同一种”，这 9 种不同的放法，只能算是一种，所以上面算出的放法数要除以 9 ，变成

      (3^9-3×2^9+3)/9 。

但是，并不是所有的放法，旋转 9 次后都可以得到 9 种不同的放法。下面 3! = 6 种放法，每一种旋转后只能得到 3 种不同的放法：

(1)“红黄蓝，红黄蓝，红黄蓝”→“蓝，红黄蓝，红黄蓝，红黄”→“黄蓝，红黄蓝，红黄蓝，红”。

(2)“红蓝黄，红蓝黄，红蓝黄”→“黄，红蓝黄，红蓝黄，红蓝”→“蓝黄，红蓝黄，红蓝黄，红”。

(3)“黄红蓝，黄红蓝，黄红蓝”→“蓝，黄红蓝，黄红蓝，黄红”→“红蓝，黄红蓝，黄红蓝，黄”。

(4)“黄蓝红，黄蓝红，黄蓝红”→“红，黄蓝红，黄蓝红，黄蓝”→“蓝红，黄蓝红，黄蓝红，黄”。

(5)“蓝红黄，蓝红黄，蓝红黄”→“黄，蓝红黄，蓝红黄，蓝红”→“红黄，蓝红黄，蓝红黄，蓝”。

(6)“蓝黄红，蓝黄红，蓝黄红”→“红，蓝黄红，蓝黄红，蓝黄”→“黄红，蓝黄红，蓝黄红，蓝”。

这 3! = 6 种放法，在考虑“旋转后相同算同一种”的情况下，不应该除以 9 ，而应该除以 3 。

但是，这 3! = 6 种放法，已经混在前面的 3^9-3×2^9+3 种放法中，我们已经全部除以 9 了。现在怎么来纠正？

我们应该先将这 3! = 6 种放法从 3^9-3×2^9+3 中减去，再将这 3! = 6 种放法单独放在外面，除以 3 ，这样就得到
   
      (3^9-3×2^9+3-3!)/9 + 3!/3 = (3^9-3×2^9+3)/9 - 3!/9 + 3!/3 .