定积分应用中的“微元法”的一个问题。

luyuanhong · 发表于 2012-6-7 12:03

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luyuanhong · 发表于 2012-6-7 14:18

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fm1134 · 发表于 2012-6-7 23:37

luyuanhong · 发表于 2012-6-8 01:26

fm1134 · 发表于 2012-6-8 02:34

luyuanhong · 发表于 2012-6-8 08:46

fm1134 · 发表于 2012-6-9 01:05

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fm1134 · 发表于 2012-6-9 01:15

华东师大《数学分析》第三版上册由于文件太大，无法上传，可在网上搜索“华
东师大数学分析”这个关键词，很容易查到。

luyuanhong · 发表于 2012-6-9 05:54

书上是在已知积分结果不对的情况下，为了解释出错的原因，才这样说的。
我们知道，如果增量微元的余项是 Δx 的高阶无穷小，就可以保证积分结果正
确，如果余项不是 Δx 的高阶无穷小，则无法保证积分结果正确，这时的积分
结果，十之八九都是错误的。
在推导弧长公式时，如果取Δs≈Δx ，会得到 s＝∫dx＝b-a ，这结果显然
是错误的，为了向读者解释出错的原因，书上指出，正因为这里所取的增量的余项，
不是Δx 的高阶无穷小，所以不能保证结果正确，而事实上，得到的积分结果，确
实是错误的。书上这样来找原因、作解释，应该说是合情合理的。
我们不能把书上的说法，理解为书上是提出了一条定理：凡是不满足“余项为
Δx 的高阶无穷小”的情形，积分的结果必定会出错。然后用一个极其个别的
非常特殊的虽然不满足“Δx 的高阶无穷小”的条件、但积分结果仍然正确的例子，
去反驳书上的说法。这其实是误解了书上的意思，是没有道理的。
举个通俗的例子：某个学生，考试做选择题时，不是认真做题，而是随便乱勾，
结果都做错了，考试不及格。事后老师向他指出不及格的原因：就是因为你不认真
做题，随便乱勾，所以都做错了，考试才会不及格。老师这样说，显然很合情合理。
如果这个学生不服气，偏偏要把老师的说法理解为，老师是说：凡是不认真做题，
随便乱勾勾，做选择题必定会选错，考试必定不及格，然后用某人在某次考试时，随
便乱勾勾，却碰巧选择题都选对了、考试也及格了的特殊例子，来反驳老师的说法。
你想想，如果这个学生这样做，是不是太钻牛角尖了？

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定积分应用中的“微元法”的一个问题。

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