试证若素数 p 不是10的因子，则必有某 n, 使得 p是 11....1 (n个1)的因子.

elim

试证若素数 p 不是10的因子，则必有某 n, 使得 p是 11....1 (n个1)的因子.

天元酱菜院

蔡家雄 发表于 2017-12-27 18:58
若素数 p 不是10的因子，

有 10^(p - 1) - 1 能被 p 整除。

当P为3时， p可以整除111， 即 p是 111的因子。
当p不为3(当然也不为2或5)时， p能整除 10^（p-1） -1,  但p与9互质，
所以，p能整除 ( 10^（p-1）-1 )/9
而 (10^(p-1) -1)/9 符合题目要求

elim

谢谢蔡，天两位的解答. 对这样的p，1/p 必为无限循环小数. 据此也能证明n的存在性.

天元酱菜院

此题很好啊， 建议邀请曹老参与此题讨论。
此题本质，是可以延伸到有理数与无理数、无限循环小数，乃至有限群等领域。

wangyangke

一坛好酱菜，满院酱菜香；愧不知味，，，