若整数 a, n > 1 使 a^n + 1 为素数，则 2 | a 且有正整数k 使 n = 2^k

elim

题：试证若整数 a, n > 1 使  a^n + 1 为素数，则 2 | a 且有正整数k 使 n = 2^k.

天元酱菜院

1）   a, n 均为大于1的整数， 所以 a^n >1 ，即 a^n +1 >2 ;  
   由于大于2的素数必是奇数，所以 a^n 为偶数， 所以 a为偶数，所以2整除a

2)  a^n +1 为素数， 所以n为偶数 （否则，a^n + 1 可以被 a+1 整除）；
    令n/2 = n1,   n1为整数，   有 (a^2)^n1 +1为素数。
           如果n1=1，则 n=2^1    命题已证
           否则 n1只能为偶数；
    令n1/2=n2,   n2 为整数，  有（a^4）^n2 +1 为素数，  
           如果n2=1,  则n=2^2     命题已证
           否则n2只能为偶数；
    ............

3)  如此构成的循环，只有指数nk为1时才能出来，且由于n有限，所以经有限步骤，必能出这个循环
          所以本命题只能是对的
   -|  

   

elim

谢谢天先生的解答。下面是我的一个帖子：


说白了就是设  n = m 2^k,  m 是奇数.  A=a^(2^k)  于是若 m > 1 则

a^n+1 = A^m + 1 = (A+1)(A^{m-1} - A^{m-1} + ... + 1) 是合数。

所以 m = 1， n = 2^k.

awei

【题】试证若整数 a, n > 1 使  a^n + 1 为素数，则 2 | a 且有正整数k 使 n = 2^k.
【解】a^n + 1 为素数必有2|a。
        如果n≠2^k，设n＝xy，y为奇数，那么有x≥1，y≤n。
①a^x≡－1（mod a^x＋1）
②a^n＋1≡（a^x）^y＋1≡（－1）^y＋1≡0（mod a^x＋1）因为y是奇数。
故a^n＋1为素数，n＝2^k。