【趣题】x、y、z为不同正整数，当n|x＋y＋z且3x≡2y≡z （mod n），求n的最小值。

awei

【趣题】x、y、z为不同正整数，当n|x＋y＋z且3x≡2y≡z （mod n），求n的最小值。

awei

答案为11，求过程。

luyuanhong

题  x,y,z 为不同的正整数，已知 n|x＋y＋z 且 3x≡2y≡z（mod n），求 n 的最小值。

解  因为 3x≡2y≡z（mod n），而且 x,y,z 要尽量小，所以应该有 3x=2y=z 。

    从 3x=z 可知 z 是 3 的倍数，从 2y=z 可知 z 是 2 的倍数。

    z 既是 3 的倍数，又是 2 的倍数，必定是 6 的倍数，取最小值，显然应该有 z=6 。

    这时 3x=z=6 ，所以有 x=6/3=2 。2y=z=6 ，所以有 y=6/2=3 。

    因为 n|x+y+z=2+3+5=11 ，可见 n 是 11 的因数，只有 n=1 或 n=11 两种可能。

    如果 n=1 ，则 (mod n)=(mod 1) ，数学中一般不大可能会出现 (mod 1）的式子。

    所以，虽然 n=1 也勉强可以算作本题的解，但本题最合适的解答应该是 n=11 。

awei

luyuanhong 发表于 2018-1-2 07:18
题  x,y,z 为不同的正整数，已知 n|x＋y＋z 且 3x≡2y≡z（mod n），求 n 的最小值。

解  因为 3x≡2y≡ ...

谢谢陆老师！
这个题的确出得不严谨，没有排除n同时整除x、y、z的可能。
应改为
【题】x,y,z 为小于n的不同的正整数，已知 n|x＋y＋z 且 3x≡2y≡z（mod n），求 n 的最小值。
【解】由题意可以得出①x＋y＋z≡0（mod n）②3x＋2y＋z≡3z（mod n）
于是有3（x＋y＋z）－y－2z≡3z (mod n)
          ③ y≡－5z≡6z（mod n）
          ④x≡4z（mod n）
          ⑤ 11z≡0（mod n）
当z＜n且n|11z时，n最小为11。