6 位同学交换纪念品 13 次，求收到 4 份纪念品的同学人数

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/07/10 10:57pm 第 1 次编辑]

【题】6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，
进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换，则收到
4 份纪念品的同学人数为
A．1 或 3 ；B．1 或 4 ；C．2 或 3 ；D．2 或 4 。

【解】6 位同学如果任何两人之间都交换一次，则一共要进行 6×5/2＝15 次交换。这时
每个同学都收到 5 份纪念品。
    现在实际上只进行 13 次交换，少了 2 次。这可以分为下列两种情形：
（1）缺少的两次交换是在 A 与 B ，B 与 C 之间。这时 B 因为少交换两次，只收到 3
件纪念品，A,C 因为少交换一次，只收到 4 份纪念品。收到 4 份纪念品的人数为 2 。
（2）缺少的两次交换是在 A 与 B ，C 与 D 之间。这时 A,B,C,D 都因为少交换一次，
都只收到 4 份纪念品。收到 4 份纪念品的人数为 4 。
    所以，此题的答案是 D．2 或 4 。
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如果是一般的情形，只知道人数为 m ，交换次数为 n ，要求收到 p 份纪念品的人数 r 。

对于这样的题目，只有当交换次数特别少，或交换次数接近 m(m-1)/2 时，才会有比较简单
的解：

【例1】当交换次数 n＝1 时，必有 2 人收到 1 份纪念品，其余 m-2 人收到 0 份纪念品。

【例2】当交换次数 n＝2 时，可以分为下列两种情形：
（1）两次交换是在 A 与 B ，B 与 C 之间。这时有 1 人收到 2 份纪念品，有 2 人收到
1 份纪念品，其余 m-3 人收到 0 份纪念品。
（2）两次交换是在 A 与 B ，C 与 D 之间。这时有 4 人收到 1 份纪念品，其余 m-4 人收
到 0 份纪念品。

【例3】当交换次数 n＝3 时，可以分为下列五种情形：
（1）三次交换是在 A 与 B ，B 与 C ，C 与 A 之间。这时有 3 人收到 2 份纪念品，其余
m-3 人收到 0 份纪念品。
（2）三次交换是在 A 与 B ，B 与 C ，C 与 D 之间。这时有 2 人收到 2 份纪念品，有 2
人收到 1 份纪念品，其余 m-4 人收到 0 份纪念品。
（3）三次交换是在 A 与 B ，B 与 C ，B 与 D 之间。这时有 1 人收到 3 份纪念品，有 3
人收到 1 份纪念品，其余 m-4 人收到 0 份纪念品。
（4）三次交换是在 A 与 B ，B 与 C ，D 与 E 之间。这时有 1 人收到 2 份纪念品，有 4
人收到 1 份纪念品，其余 m-5 人收到 0 份纪念品。
（5）三次交换是在 A 与 B ，C 与 D ，E 与 F 之间。这时有 6 人收到 1 份纪念品，其余
m-6 人收到 0 份纪念品。

【例4】当交换次数 n＝m(m-1)/2-1 时，相当于只缺少 1 次交换，对应于上面【例1】，这时
必有 2 人收到 m-2 份纪念品，其余 m-2 人收到 m-1 份纪念品。

【例5】当交换次数 n＝m(m-1)/2-2 时，相当于只缺少 2 次交换，对应于上面【例2】，可以
得到类似的结果，详细就不写了。

【例6】当交换次数 n＝m(m-1)/2-3 时，相当于只缺少 3 次交换，对应于上面【例3】，可以
得到类似的结果，详细就不写了。