[求助]是否能确定上下限函数？

qingjiao

已知x>0时，恒有f(x)>0，g1(x)>0，g2(x)>0，g3(x)>0，h1(x)>h2(x)>h3(x)>0，
且一阶导数f`(x)>0，g1`(x)>0，g2`(x)>0，g3`(x)>0，
卷积f(x)*g1(x)=h1(x)，f(x)*g2(x)=h2(x)，f(x)*g3(x)=h3(x)；
(1)若一阶导数h1`(x)>h2`(x)>h3`(x)>0，是否恒有g1(x)>g2(x)>g3(x)？
(2)若条件(1)的结论是不一定，那么增加条件，令二阶导数h1``(x)>h2``(x)>h3``(x)>0，是否恒有g1(x)>g2(x)>g3(x)？
我觉得在条件(2)下结论是可能成立的，但证明会很难。陆教授如有时间不妨一试。
一般工科的数学教材只讲了卷积的基本概念和基本运算，很多重要的性质和应用都没有讲，这可能是一个明显的不足。

qingjiao

看来这个问题的确有点难。陆教授以前有个卷积的导数的帖子，不知是否可以用得上？

qingjiao

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2012/08/31 03:59pm 第 1 次编辑] 再增加一个条件： (3)g1(0)<=g2(0)<=g3(0)，这样f(x)g1(0)<=f(x)g2(0)<=f(x)g3(0)，后面那个积分就会有确定的大小关系，或许会好办一些？

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2012/08/31 04:01pm 第 1 次编辑]


这个问题的意义在于，如果f(x)*g1(x)>f2(x)*g2(x)，易知至少有一部分的x，g1(x)>g2(x)，但对于所有的x则不能断言。
那么在什么条件下才能断言恒有g1(x)>g2(x)？似乎应和卷积的增长率有一些关系。
如果这个问题解决了，很多困难的问题就容易解决。比如g(x)是某复杂函数，我们难以直接求出它的上下限，但知道它对某些函数f(x)的卷积。这样我们可以作出一些简单的函数g0(x)进行替换，只要f(x)*g0(x)和f(x)*g(x)符合某种特定的关系，就可以确定g0(x)必是g(x)的上限或下限。

qingjiao

看来此题的确很难，只能具体问题具体分析，没有一般的方法了？