[原创]关于勾股整数对。

技术员

[watermark]一种形式是：3a,4a,5a
a为任意自然数。请问还有其他形式吗？[/watermark]

技术员

下面引用由风花飘飘在 2012/10/05 10:10pm 发表的内容：
(3a;4b;5c)________________________________________

a,b,c应该满足什么关系吧？

技术员

我在网上找的： 对于勾股定理，我想我们已经非常熟悉，我们也应该很熟悉勾股数组：m2-n2,2mn,m2+n2.任意取两个不等的m和n，都能得到一勾股数组，不过得到的是基本数组，有些非基本数组不一定能通过它制造，这一点我想就不用我多说，今天要介绍一个关于勾股定理的结论，蛮有意思的一个结论。 结论：若再勾股数组(a,b,c)中，a

技术员

我想知道勾股定理的人应该都知道这个结论，即在任何一组勾股数组(a,b,c)中，一定存在一个数整除与3,4,5.也就是我们最小的一组勾股数，今天就给大家介绍一个证明方法，相对来说还是比较简单的，不用分类讨论。
      首先我们需要了解关于勾股数的一个有趣性质：对于基本数组(a,b,c),也就是a,b,c之间没有除了1以外的公因数的数组，其中任何两个数都是互素的，即(a,b)=(b,c)=(a,c)=(a,b,c)=1.这个结论我想大家都应该能想通吧，一旦a和b有公因数k，那么其平方和必然k2，导致c也有因数k。
      很显然，我们只讨论基本数组(a,b,c)即可，也就是三个数之间没有公约数的数组。我们知道勾股数组的表达式：m2-n2,2mn,m2+n2.现在我们对其中的三个数相乘：
      abc=(m2-n2)(2mn)(m2+n2)
           =2mn(m4-n4)
           =2mn[(m4-1)-(n4-1)]
           =2mn(m4-1)-2mn(n4-1)
           =2m(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+2n(m-2)(m-1)m(m+1)(m+2)-10m(n-1)n(n+1)-10n(m-1)m(m+1)
      由于连续三个自然数相乘能被3!=6整除，连续五个自然数能被5!=60整除，上式中右边的每一项都能被60整除，最终abc就能被60整除，即60|(abc),由于a,b,c两两互素，所以最终我们就得出结论：
      在勾股数组(a,b,c)中，必然有一个数能够被3整除，一个数能被4整除，一个数能被5整除。
      在上面的证明中，我们用了一个很重要的结论：连续n个自然数相乘能被n!整除。这是一个非常重要的结论，至于为何这个结论成立，你可以参考组合数，如果你能想通组合数是个整数，你就能想通这个问题。

guanchunhe

“m2-n2,2mn,m2+n2.任意取两个不等的m和n，都能得到一勾股数组，不过得到的是基本数组”
这样说是不正确的。
因为m,n的取值不是任意的，它们需要满足约束条件m>n，2不整除m+n。