[原创]求作勾股定理的曲线图及费马定理的曲线图

技术员

[watermark]X^2+Y^2=Z^2，如果把X,Y,Z当做3维空间的三个变量，那么它的曲线图应该是什么样的？
X^t+Y^t=Z^t,如果t当做四维空间的一个变量，即时间，那么它的曲线动态图应该是什么样的呢？[/watermark]

luyuanhong

下面引用由技术员在 2012/10/06 08:51pm 发表的内容：
X^2+Y^2=Z^2，如果把X,Y,Z当做3维空间的三个变量，那么它的曲线图应该是什么样的？
X^t+Y^t=Z^t,如果t当做四维空间的一个变量，即时间，那么它的曲线动态图应该是什么样的呢？

X^2+Y^2=Z^2 在三维空间中的图像，不是一条曲线，而是一个曲面，是一个圆锥面。
X^t+Y^t=Z^t 在四维空间中的图像，也不是一条曲线，而是一个“曲体”，无法画出来。
但是，这个“曲体”，可以看作是由 t 不断变化取各种值时，得到的各种曲面累积形成的，
下面是 t=2 ，t=3 ，t=4 时的曲面图像：

luyuanhong

x^n+y^n=z^n 曲面在 z=1 处的水平截线是一条曲线 x^n+y^n=1 。
当 n=1,2,3,4,5 时，曲线 x^n+y^n=1 的图象如下，可以看出它是如何变化的：

中国上海市

x^n+y^n=z^n当n→∞时其图像是否退化为几个点？还是什么？

luyuanhong

下面引用由中国上海市在 2012/10/07 00:08pm 发表的内容：
x^n+y^n=z^n当n→∞时其图像是否退化为几个点？还是什么？

技术员

谢谢陆教授。我发现X^n+Y^n=Z^n,当02时，曲面就不规则了。

luyuanhong

下面引用由技术员在 2012/10/07 04:25pm 发表的内容： 谢谢陆教授。我发现X^n+Y^n=Z^n,当02时，曲面就不规则了。

当 n 是满足 0＜ｎ≤2 的正整数时，X^n+Y^n=Z^n 的图像确实比较规则： n=1 时是平面 X+Y=Z ，n=2 时是圆锥面 X^2+Y^2=z^2 。 但是，当 n 不是正整数时，例如 n=1/2 或 n=3/2 时，图形就不那么规则了。 首先，这时 X,Y,Z 都必须大于等于 0 ，所以，图像都局限于坐标系的一个角中。 同时，从下面图形可以看到，n=1/2 或 n=3/2 时，曲面图像也是弯曲的，并不规则。 所以，0＜ｎ≤2 与 n＞2 的图像，好像也看不出有什么本质的区别。 　

技术员

下面引用由luyuanhong在 2012/10/07 07:16pm 发表的内容： 当 n 是满足 0＜ｎ≤2 的正整数时，X^n+Y^n=Z^n 的图像确实比较规则：
n=1 时是平面 X+Y=Z ，n=2 时是圆锥面 X^2+Y^2=z^2 。
但是，当 n 不是正整数时，例如 n=1/2 或 n=3/2 时，图形就不那么规则了　...

陆教授，我说的n是整数啊。我发现这个规则与不规则肯定和整数解的有和无相关。