在 ΔABC 中，已知 ∠C=3∠A ，AB=48 ，BC=27 ，求 AC

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三角函數

王守恩

    正弦定理：48/sin(3A)=27/sin(A)=AC/sin(180-4A)
由第1个等号 48/sin(3A)=27/sin(A)，解得 sin(A)=根号(11/36)
     注：sin(3A)=3sin(A)-4(sinA)^3
由第2个等号  27/sin(A)=AC/sin(180-4A)，解得  AC=35

annalia789

∠C里面靠近∠A的方向分出一个∠A交AB于D点，则AD=DC，DB=BC=27，DC=AD=48-27=21，
所以COS2A=(27*2+21*2-27*2)/2乘以27乘以21
COS（180°-2A）=（21*2+21*2-AC*2）/2乘以21乘以21
解得AC=35

王守恩

annalia789 发表于 2019-7-13 21:41
∠C里面靠近∠A的方向分出一个∠A交AB于D点，则AD=DC，DB=BC=27，DC=AD=48-27=21，
所以COS2A=(27*2+21*2- ...

这样解释，也许通畅些。
∠C里面靠近∠A的方向分出一个∠A交AB于D点，则AD=DC，DB=BC=27，DC=AD=48-27=21，
在 ΔBCD 中， 正弦定理：27/sin(2A)=21/sin(4A)，解得 cos(2A)=21/54
在 ΔACD 中， 余弦定理：(AC)^2=21^2+21^2-2×21×21cos(180-2A)，解得AC=35

王守恩

王守恩 发表于 2019-7-14 08:22
这样解释，也许通畅些。
∠C里面靠近∠A的方向分出一个∠A交AB于D点，则AD=DC，DB=BC=27，DC=AD=48-27=2 ...

∠C里面靠近∠A的方向分出一个∠A交AB于D点，则AD=DC，DB=BC=27，DC=AD=48-27=21，
太好了！ 谢谢 annalia789！  利用角平分线定理：AC*27sin(A)=21*27sin(2A)，解得AC=35

王守恩

王守恩 发表于 2019-7-14 09:10
∠C里面靠近∠A的方向分出一个∠A交AB于D点，则AD=DC，DB=BC=27，DC=AD=48-27=21，
太好了！ 谢谢 an ...

正弦定理：48/sin(3A)=27/sin(A)，  得 sin(A)=根号(11/36)
     注：sin(3A)=3sin(A)-4(sinA)^3，得 cos(A)=根号(25/36)
余弦定理：27^2=48^2+(AC)^2-2*48*(AC)os(A) 解得  AC=35

王守恩

annalia789 发表于 2019-7-13 21:41
∠C里面靠近∠A的方向分出一个∠A交AB于D点，则AD=DC，DB=BC=27，DC=AD=48-27=21，
所以COS2A=(27*2+21*2- ...

面积公式：AC*48sin(A)/2=27*48sin(4A)/2，解得 AC=35

王守恩

annalia789 发表于 2019-7-13 21:41
∠C里面靠近∠A的方向分出一个∠A交AB于D点，则AD=DC，DB=BC=27，DC=AD=48-27=21，
所以COS2A=(27*2+21*2- ...

∠C里面靠近∠A的方向分出一个∠A交AB于D点，则AD=DC，DB=BC=27，DC=AD=48-27=21，
太好了！ 谢谢 annalia789！  面积公式：AC*48sin(A)/2=21*48sin(2A)/2，解得 AC=35

王守恩

王守恩 发表于 2019-7-14 09:10
∠C里面靠近∠A的方向分出一个∠A交AB于D点，则AD=DC，DB=BC=27，DC=AD=48-27=21，
太好了！ 谢谢 an ...

∠C里面靠近∠A的方向分出一个∠A交AB于D点，则AD=DC，DB=BC=27，DC=AD=48-27=21，
太好了！ 谢谢 annalia789！  面积公式：AC*21sin(A)/2=21*21sin(2A)/2，解得 AC=35

王守恩

annalia789 发表于 2019-7-13 21:41
∠C里面靠近∠A的方向分出一个∠A交AB于D点，则AD=DC，DB=BC=27，DC=AD=48-27=21，
所以COS2A=(27*2+21*2- ...

谢谢 annalia789！太好了！
∠C里面靠近∠A的方向分出一个∠A交AB于D点，则AD=DC，DB=BC=27，DC=AD=48-27=21，
设E为AC的平分点，在 ΔADE 中，AE/cos(A)=21/sin(90)，解得 AE=21*5/6=35/2，即AC=35