构形对称性与可约性的研究

雷明85639720

构形对称性与可约性的研究
雷  明
（二○一八年元月二十四日）

1、构形的对称性
BAB型5—轮构形的对称轴是两条连通链的A—C链和A—D链的共同起始顶点2A与两条连通链的两个末端5C与4D的中点的连线，即五边形的最上顶点2A与最下一条边5C与4D中点的连线。两条连通链若相交叉时，其交叉顶点8A也位于该对称轴上。

图1，a是对称的、可同时移去两个同色B的K—构形，图1，b是对称的b类H—构形，图1，c和图1，d都是非对称的、可同时移去两个同色B的K—构形；图2，a是对称的a类H—构形，图2，b是对称的b类H—构形，图2，c和图2，d都是非对称的c类H—构形；图3，a和图3，b都是对称的a类H—构形；


图4，a是对称的c类H—构形，图4，b，图5，图6都是对称的、可同时移去两个同色B的K—构形；图7是对称的b类H—构形等。


另外，还有一些位于A—C链和A—D链上的A—B，C—D，A—C，A—D，B—C，B—D二色圈（偶圈）的图，这些二色偶圈对于5—轮构形的对称轴来说均是不对称的，这种情况在K—构形，和a类，b类，c类三类H—构形中也都有可能存在。



2、H—构形的可约性
2、1  a类构形的可约性证明：因为这类构形都有一条环形的经过五边形1B，2A，3B三个顶点（或经过两链的交叉顶点8A一个顶点）的A—B链，把C—D 链分成了环内、环外两个不连通的部分，所以至少可以交换A—B环一侧的经过五边形5C和4D（或者经过与两链的交叉顶点8A相邻的顶点6C和7D）的C—D链，使A—C链和A—D链的末端顶点4和5改变颜色，使两条连通链同时断链，使图变成K—构形而可约。敢峰—米勒图中有经过五边形1B，2A，3B三个顶点的环形A—B链（如图3，a），所以敢峰—米勒图是a类H—构形的图；
2、2  b类构形的可约性证明：因为这类构形都有一条环形的经过五边形4D和5C（或者6C和7D）两个顶点C—D链，把A—B链分成了环内、环外两个不连通的部分，所以至少可以交换C—D环一侧的经过五边形1B，2A，3B三个顶点或者五边形8A的A—B链，使A—C链和A—D链的共同起始顶点2改变颜色，使两条连通链同时断链，使图变成K—构形而可约。赫渥特图中有经过五边形4D和5C两个顶点的环形C—D链（如图7），所以赫渥特图是b类H—构菜的图；
2、3  c类构形的可约性证明：因为这种构形中没有任何的环形链，所以就只能交换两个关于B的链中之一了，使图的构形变型。这种构形，无论是进行那个方向的转型交换，交换一次后，图就可以变成可以同时移去两个同色C或D的K—构形，或者变成b类的H—构形，二者都是可约的；当c类构形是对称的构形时，交换的次数则要比非对称的c类构形多一些，一定要交换到使图变成非对称的c类构形时，再交换一次，即可变成K—构形或b类H—构形。所多的几次交换，我们叫它不起转型作用的交换，虽然构形的峰点也在变化，但构形仍然是c类构形。这种不起转型作用的交换次数，我们在另文中已经证明了是不会超过去16次的。张彧典先生的第八构形中没有任何的环形链（如图8），所以张先生的第八构形是非对称的c类H—构形；1935年那个美国人给出的图11的对偶图（如图4，a），是对称的c类H—构形；
2、4  另外，还有一些位于A—C链和A—D链上的A—B，C—D，A—C，A—D，B—C，B—D二色圈（偶圈）的图（如图8中的双边圈），可以在二色圈内交换与其相反的色链，使得A—C链和A—D链之一单独断链，图变成K—构形而可约。
2、5  对于图1的几个九点形构形来说，图1，a是随便先从那个B交换都可以同时移去两个同色B的；而对于图1，c则要先从3B开始交换；对于图1，d则要先从1B开始交换；只有这样，这两个构形才可以同时移去两个同色B；否则，交换的顺序错了，构形将变为b类H—构形。从这个意义上讲，我们也可以把图1，c和图1，d看成是c类H—构形。


雷  明
二○一八年元月二十四日于长安

注：此文已于二○一八年元月二十五日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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你来这里干什么嘛。

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