α=(sin20°)^3-sin20°,β=(sin40°)^3-sin40°,γ=(sin80°)^3-sin80°,求 α+β-γ

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

谢芝灵

解：
因为：(sin20°)^3-（3/4）sin20°+（1/4）sin60°=0
         (sin40°)^3-（3/4）sin40°+（1/4）sin120°=0
         (sin80°)^3-（3/4）sin80°+（1/4）sin240°=0
α=(sin20°)^3-sin20°=（3/4）sin20°-sin20°-（1/4）sin60°=-（1/4）（sin20°+sin60°）
同理得：
β=-（1/4）（sin40°+sin120°）
γ=-（1/4）（sin80°+sin240°）

α+β-γ=-（1/4）（sin20°+sin60°+sin40°+sin120°-sin80°-sin240°）
        =-（1/4）[sin20°+sin40°-sin80°+（3√3）/2]
        =-（1/4）[sin20°+sin（60-20）°-sin（60+20）°+（3√3）/2]
        =-（1/4）[（3√3）/2]
        =-（3√3）/8

luyuanhong

谢谢楼上 谢芝灵 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。