P 为ΔABC 内一点，∠PAB=∠PBC=∠PCA=15°，求 1/(sinA)^2+1/(sinB)^2+1/(sinC)^2

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/12/13 04:31pm 第 1 次编辑]

下面是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

kanyikan

由三角形布洛卡角的定义，△ABC的布洛卡角为15°
根据布洛卡角的性质，有
cot15°=cotA+cotB+cotC
所以
1/(sinA)^2 + 1/(sinB)^2 + 1/(sinC)^2
=1+(cotA)^2 + 1+(cotB)^2 + 1+(cotC)^2
=3+(cotA)^2+(cotB)^2+(cotC)^2
=3+(cotA+cotB+cotC)^2-2(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA)
=1+(cotA+cotB+cotC)^2  (由cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1)
=1+(cot15°)^2
=1+(cos15°)^2/(sin15°)^2
=1+[(1+cos30°)/2]/[(1-cos30°)/2]
=1+(1+√3/2)/(1-√3/2)
=1+(2+√3)^2
=8+4√3

luyuanhong

楼上 kanyikan 的证明很好，我已经将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。
只是一般人都不知道有公式 cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 ，是否可以补充给出证明？

kanyikan

见
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=16638&show=50
第5楼