[求助]求两个n维实向量的欧氏距离上限

zighouse

实际工作中遇到了一个有趣的数学问题，一时想不出解法。 设有两个 n 维实向量 X, Y： X = (x_1, x_2, ..., x_n)';; 0<= x_i <= 1; sum(x_i) = 1; Y = (y_1, y_2, ..., y_n)';; 0<= y_i <= 1; sum(y_i) = 1; X 与 Y 的欧氏距离为： dist( X, Y ) = | X - Y | = sqrt( sum( (x_i - y_i)^2 ) ); 求 X 与 Y 之间的欧氏距离的上限 sup( | X - Y | ) 是多少？

zighouse

[这个贴子最后由zighouse在 2012/12/15 08:16am 第 1 次编辑] 当 n = 1 时，X = ( 1 ), Y = ( 1 ), sup( | X - Y | ) = 0; 当 n = 2 时，X, Y 是直线段 x + y - 1 = 0 ( 0 <= x, y <= 1 ) 上的点，易知 sup( | X - Y | ) = sqrt( 2 ); 当 n = 3 时，X, Y 是一个等边三角形 x + y + z - 1 = 0 ( 0 <= x, y, z <= 1 ) 上的点，易知 sup( | X - Y | ) = sqrt( 2 ); 当 n >= 4 时，是否也有 sup( | X - Y | ) = sqrt( 2 ) ?

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/02/15 09:53pm 第 1 次编辑]

zighouse

谢谢陆老师的解答，很漂亮！
我是从几何的角度凭直觉观察到这个结果的，不大好描述，而陆老师的解析式则无懈可击。以下是我的猜想过程：
当 n = 4 时，向量集在正交参数空间中构成了一个正三角椎，每个面是一个边长为 sqrt(2) 的正三角形，距离最大值发生在任意两个顶点之间，即 sup( | X - Y | ) = sqrt(2)。
当 n > 4 时，很难描述多维的正多体，但以投影的方法依次降维，可以得到边长为 sqrt(2) 的正多体；如 n=5 维时投影到 4－维空间中，得到点集为 3－维的正三角椎；4－维空间中的点集投影到 3－维空间中得到正三角形。

luyuanhong

下面引用由zighouse在 2012/12/15 08:32am 发表的内容：
谢谢陆老师的解答，很漂亮！
我是从几何的角度凭直觉观察到这个结果的，不大好描述，而陆老师的解析式则无懈可击。以下是我的猜想过程：
当 n = 4 时，向量集在正交参数空间中构成了一个正三角椎，每个面是一个　...

你的想法很好！
其实我也是先从这想法猜测到答案应该是 √2 ，然后才设法找到证明的。