设 Δ 为 ΔABC 的面积，证明：cotA=(b^2+c^2-a^2)/(4Δ)，a^2+b^2+c^2≥4√3Δ

luyuanhong

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这是台湾网友发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

kanyikan

(1)
cotA
=cosA/sinA
=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)/sinA
=(b^2+c^2-a^2)/(2bc×sinA)
=(b^2+c^2-a^2)/(4△)

kanyikan

(2)
由(1)知
cotA=(b^2+c^2-a^2)/(4△),cotB=(c^2+a^2-b^2)/(4△),cotC=(a^2+b^2-c^2)/(4△)
由cotA,cotB,cotC成等差数列知
2cotB=cotA+cotC
即
2(c^2+a^2-b^2)/(4△)=(b^2+c^2-a^2)/(4△)+a^2+b^2-c^2)/(4△)
化简，得
2b^2=a^2+c^2
所以
a^2,b^2,c^2成等差数列

kanyikan

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(3)
设PA=p,PB=q,PC=r,S△PAB=△1,S△PBC=△2,S△PCA=△3
由(1)知
cotα=(c^2+p^2-q^2)/(4△1)
即
△1=(c^2+p^2-q^2)/(4cotα)
同理
△2=(a^2+q^2-r^2)/(4cotα)
△3=(b^2+r^2-p^2)/(4cotα)
又
△=△1+△2+△3
所以
△=(c^2+p^2-q^2)/(4cotα)+(a^2+q^2-r^2)/(4cotα)+(b^2+r^2-p^2)/(4cotα)
  =(a^2+b^2+c^2)/(4cotα)
所以
cotα=(a^2+b^2+c^2)/(4△)
由(1)知
cotA+cotB+cotC
=(b^2+c^2-a^2)/(4△)+(c^2+a^2-b^2)/(4△)+(a^2+b^2-c^2)/(4△)
=(a^2+b^2+c^2)/(4△)
所以
cotα=cotA+cotB+cotC

kanyikan

(4) 由(3)的证明知 cotA+cotB+cotC=(a^2+b^2+c^2)/(4△) 即 (a^2+b^2+c^2)=4(cotA+cotB+cotC)△ 于是，本题等价于证明 cotA+cotB+cotC>=√3 引理1 三角形ABC中,tgA+tgB+tgC=tgA×tgB×tgC 证明： tgA+tgB+tgC =sinA/cosA+sinB/cosB+sinC/cosC =(cosBsinA+sinBcosA)/(cosAcosB)+sinC/cosC =sin(A+B)/(cosAcosB)+sinC/cosC =sinC/(cosAcosB)+sinC/cosC =sinC(cosC+cosAcosB)/(cosAcosBcosC) =sinC(-cos(A+B)+cosAcosB)/(cosAcosBcosC) =sinC(-cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB)/(cosAcosBcosC) =sinAsinBsinC/(cosAcosBcosC) =tgA×tgB×tgC 引理2 三角形ABC中,cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 证明： 由引理1知 tgA+tgB+tgC=tgA×tgB×tgC 即 1/cotA +1/cotB + 1/cotC=(1/cotA)×(1/cotB)×(1/cotC) 化简，得 cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 引理3 三角形ABC中,cotA+cotB+cotC>0 证明： cotA+cotB+cotC =cosA/sinA + cosB/sinB + cosC/sinC =(cosAsinB+sinAcosB)/(sinAsinB) + cosC/sinC =sin(A+B)/(sinAsinB) + cosC/sinC =sinC/(sinAsinB) + cosC/sinC =(sinCsinC+sinAsinBcosC)/(sinAsinBsinC) =(1-cosCcosC+sinAsinBcosC)/(sinAsinBsinC) =[1-cosC(cosC-sinAsinB)]/(sinAsinBsinC) =[1-cosC(-cos(A+B)-sinAsinB)]/(sinAsinBsinC) =[1-cosC(-cosAcosB+sinAsinB-sinAsinB)]/(sinAsinBsinC) =(1+cosAcosBcosC)/(sinAsinBsinC) 由于|cosA|<=1,|cosB|<=1,|cosC|<=1,sinA>0,sinB>0,sinC>0,cosA,cosB,cosC不可能为-1 所以 (1+cosAcosBcosC)/(sinAsinBsinC)>0 即 cotA+cotB+cotC>0 等价结论的证明 (cotA+cotB+cotC)^2 =(cotA)^2+(cotB)^2+(cotC)^2+2(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA) =(2(cotA)^2+2(cotB)^2+2(cotC)^2-2cotAcotB-2cotBcotC-2cotCcotA)/2+3(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA) =(cotA-cotB)^2+(cotB-cotC)^2+(cotC-cotA)^2+3 (由引理2) >=3 (当且仅当cotA=cotB=cotC时，即A=B=C=60°时等号成立) 即 (cotA+cotB+cotC)^2>=3 由引理3知 cotA+cotB+cotC>0 所以 cotA+cotB+cotC>=√3

kanyikan

注：
(3)中的α是三角形的布洛卡角。
(4)中的不等式是著名的Weitzenbock不等式。

luyuanhong

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楼上网友 kanyikan 的证明很好！
cotA+cotB+cotC≥√3 还可以有另外的证法，似乎更简单一些。