设 Δ 为 ΔABC 的面积，证明：a^2+b^2+c^2≥4√3Δ

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 在“陆老师的《数学中国》园地”上发表的一个帖子，
转贴如下：

kanyikan

这个不等式的证明可以不用三角 令s=(a+b+c)/3,则 4√3△ =4√3√[s(s-a)(s-b)(s-c)] =√3√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)] <=√3√{(a+b+c)[(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c))/3]^3} (利用几何平均数不大于算术平均数，当且仅当a=b=c时等号成立) =(a+b+c)^2/3 <=[3√(a^2+b^2+c^2)/3]^2/3 (利用算术平均数不大于平方平均数，当且仅当a=b=c时等号成立) =a^2+b^2+c^2

luyuanhong

楼上 kanyikan 的这个证明也很好，我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。