一个自然数因数分解的定理(我真不知道!)

xfhaoym

一个数M它有60个正约数.问M的最小值.?

luyuanhong

题  求有 60 个正因数的正整数 M 的最小值。

解  我们知道，如果一个正整数 M 的质因数分解可以表示为

            M = p1^k1 × p2^k2 × p3^k3 × … × pn^kn ,

其中 p1,p2,…,pn 是不同的质数，k1,k2,…,kn 是这些质数的幂次，

那么，这个正整数 M 的正因数个数就是

             (k1+1) × (k2+1) × (k3+1) × … × (kn+1) 。

    现在已知正整数 M 的正因数个数是 60 ，60 可以表示为下列形式

    60 = 5 × 3 × 2 × 2 = (4+1) × (2+1) × (1+1) ×(1+1) 。

    可见，M 有四个不同的质因数，它们的幂次是 4,2,1,1 。

    为了使得 M 尽可能小，四个质因数应该取最小的四个质数 2,3,5,7 ，

而且应把最大的幂次 4 ，分配给最小的质数 2 ；次大的幂次 2 ，分配给

次小的质数 3 ；最小的两个幂次 1 ，分配给最大的两个质数 5,7 。即有

    M = 2^4 × 3^2 × 5^1 × 7^1 = 5040 。

xfhaoym

谢谢陆老师.又学到了一门.