不用一个字证明这个等式，并且永远不会忘记

luyuanhong

不用一个字证明这个等式，并且永远不会忘记

原创  数学徐博士  2026 年 7 月 3 日 08:27  广东



数学徐博士

王守恩

网友！您只有一个。我变成那么多！谈谈您的看法！谢谢！！

9个角度——\(\cos(1*\pi/21) = 1, \cos(2*\pi/21)= 2, \cos(3*\pi/21) = 3, \cos(4*\pi/21) = 4, \cos(5*\pi/21) = 5, \cos(6*\pi/21)= 6 , \cos(7*\pi/21) = 7, \cos(8*\pi/21) = 8, \cos(9*\pi/21) = 9\)

左边角度≠右边角度。左边角度可以相同。右边角度可以相同。左边的个数>右边的个数。左边的个数=右边的个数时,左边第1个角度>右边第1个角度。—— 譬如
=== n=3: 2 组 ===
1. {5+9} = {2}
2. {6+8} = {1}
=== n=4: 1 组 ===
1. {3+9} = {6+7}—\(\cos\frac{3\pi}{21}+\cos\frac{9\pi}{21}=\cos\frac{6\pi}{21}+\cos\frac{7\pi}{21}—\cos\frac{\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}=\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{\pi}{3}—\cos\frac{\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{5\pi}{7}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)——网友！您只有一个。我变成那么多！谈谈您的看法！谢谢！！
=== n=5: 2 组 ===
1. {3+8+9} = {1+7}
2. {5+6+7} = {2+3}
=== n=6: 3 组 ===
1. {5+5+9+9} = {2+2}
2. {5+6+8+9} = {1+2}
3. {6+6+8+8} = {1+1}
=== n=7: 1 组 ===
1. {3+5+9+9} = {2+6+7}
=== n=8: 5 组 ===
1. {3+5+8+9+9} = {1+2+7}
2. {5+5+6+7+9} = {2+2+3}
3. {3+6+8+8+9} = {1+1+7}
4. {5+6+6+7+8} = {1+2+3}
5. {3+3+9+9} = {6+6+7+7}
=== n=9: 5 组 ===
1. {5+5+5+9+9+9} = {2+2+2}
2. {5+5+6+8+9+9} = {1+2+2}
3. {5+6+6+8+8+9} = {1+1+2}
4. {6+6+6+8+8+8} = {1+1+1}
5. {3+3+8+9+9} = {1+6+7+7}
=== n=10: 3 组 ===
1. {3+5+5+9+9+9} = {2+2+6+7}
2. {3+3+8+8+9+9} = {1+1+7+7}
3. {5+5+6+6+7+7} = {2+2+3+3}
=== n=11: 7 组 ===
1. {3+5+5+8+9+9+9} = {1+2+2+7}
2. {5+5+5+6+7+9+9} = {2+2+2+3}
3. {3+5+6+8+8+9+9} = {1+1+2+7}
4. {5+5+6+6+7+8+9} = {1+2+2+3}
5. {3+3+5+9+9+9} = {2+6+6+7+7}
6. {3+6+6+8+8+8+9} = {1+1+1+7}
7. {5+6+6+6+7+8+8} = {1+1+2+3}
=== n=12: 7 组 ===
1. {5+5+5+5+9+9+9+9} = {2+2+2+2}
2. {5+5+5+6+8+9+9+9} = {1+2+2+2}
3. {5+5+6+6+8+8+9+9} = {1+1+2+2}
4. {5+6+6+6+8+8+8+9} = {1+1+1+2}
5. {3+3+5+8+9+9+9} = {1+2+6+7+7}
6. {6+6+6+6+8+8+8+8} = {1+1+1+1}
7. {3+3+3+9+9+9} = {6+6+6+7+7+7}
=== n=13: 6 组 ===
1. {3+5+5+5+9+9+9+9} = {2+2+2+6+7}
2. {3+3+5+8+8+9+9+9} = {1+1+2+7+7}
3. {5+5+5+6+6+7+7+9} = {2+2+2+3+3}
4. {3+3+6+8+8+8+9+9} = {1+1+1+7+7}
5. {5+5+6+6+6+7+7+8} = {1+2+2+3+3}
6. {3+3+3+8+9+9+9} = {1+6+6+7+7+7}
=== n=14: 10 组 ===
1. {3+5+5+5+8+9+9+9+9} = {1+2+2+2+7}
2. {5+5+5+5+6+7+9+9+9} = {2+2+2+2+3}
3. {3+5+5+6+8+8+9+9+9} = {1+1+2+2+7}
4. {5+5+5+6+6+7+8+9+9} = {1+2+2+2+3}
5. {3+3+5+5+9+9+9+9} = {2+2+6+6+7+7}
6. {3+5+6+6+8+8+8+9+9} = {1+1+1+2+7}
7. {5+5+6+6+6+7+8+8+9} = {1+1+2+2+3}
8. {3+6+6+6+8+8+8+8+9} = {1+1+1+1+7}
9. {5+6+6+6+6+7+8+8+8} = {1+1+1+2+3}
10. {3+3+3+8+8+9+9+9} = {1+1+6+7+7+7}
=== n=15: 10 组 ===
1. {5+5+5+5+5+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2}
2. {5+5+5+5+6+8+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2}
3. {5+5+5+6+6+8+8+9+9+9} = {1+1+2+2+2}
4. {5+5+6+6+6+8+8+8+9+9} = {1+1+1+2+2}
5. {3+3+5+5+8+9+9+9+9} = {1+2+2+6+7+7}
6. {5+6+6+6+6+8+8+8+8+9} = {1+1+1+1+2}
7. {3+3+3+5+9+9+9+9} = {2+6+6+6+7+7+7}
8. {6+6+6+6+6+8+8+8+8+8} = {1+1+1+1+1}
9. {3+3+3+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+7+7+7}
10. {5+5+5+6+6+6+7+7+7} = {2+2+2+3+3+3}
=== n=16: 9 组 ===
1. {3+5+5+5+5+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+6+7}
2. {3+3+5+5+8+8+9+9+9+9} = {1+1+2+2+7+7}
3. {5+5+5+5+6+6+7+7+9+9} = {2+2+2+2+3+3}
4. {3+3+5+6+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+2+7+7}
5. {5+5+5+6+6+6+7+7+8+9} = {1+2+2+2+3+3}
6. {3+3+3+5+8+9+9+9+9} = {1+2+6+6+7+7+7}
7. {3+3+6+6+8+8+8+8+9+9} = {1+1+1+1+7+7}
8. {5+5+6+6+6+6+7+7+8+8} = {1+1+2+2+3+3}
9. {3+3+3+3+9+9+9+9} = {6+6+6+6+7+7+7+7}
=== n=17: 13 组 ===
1. {3+5+5+5+5+8+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+7}
2. {5+5+5+5+5+6+7+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+3}
3. {3+5+5+5+6+8+8+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+7}
4. {5+5+5+5+6+6+7+8+9+9+9} = {1+2+2+2+2+3}
5. {3+3+5+5+5+9+9+9+9+9} = {2+2+2+6+6+7+7}
6. {3+5+5+6+6+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+2+2+7}
7. {5+5+5+6+6+6+7+8+8+9+9} = {1+1+2+2+2+3}
8. {3+5+6+6+6+8+8+8+8+9+9} = {1+1+1+1+2+7}
9. {5+5+6+6+6+6+7+8+8+8+9} = {1+1+1+2+2+3}
10. {3+3+3+5+8+8+9+9+9+9} = {1+1+2+6+7+7+7}
11. {3+6+6+6+6+8+8+8+8+8+9} = {1+1+1+1+1+7}
12. {5+6+6+6+6+6+7+8+8+8+8} = {1+1+1+1+2+3}
13. {3+3+3+3+8+9+9+9+9} = {1+6+6+6+7+7+7+7}
=== n=18: 14 组 ===
1. {5+5+5+5+5+5+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+2}
2. {5+5+5+5+5+6+8+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+2}
3. {5+5+5+5+6+6+8+8+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+2}
4. {5+5+5+6+6+6+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+2+2+2}
5. {3+3+5+5+5+8+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+6+7+7}
6. {5+5+6+6+6+6+8+8+8+8+9+9} = {1+1+1+1+2+2}
7. {3+3+3+5+5+9+9+9+9+9} = {2+2+6+6+6+7+7+7}
8. {5+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+9} = {1+1+1+1+1+2}
9. {3+3+3+5+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+2+7+7+7}
10. {5+5+5+5+6+6+6+7+7+7+9} = {2+2+2+2+3+3+3}
11. {6+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8} = {1+1+1+1+1+1}
12. {3+3+3+6+8+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+1+7+7+7}
13. {5+5+5+6+6+6+6+7+7+7+8} = {1+2+2+2+3+3+3}
14. {3+3+3+3+8+8+9+9+9+9} = {1+1+6+6+7+7+7+7}
=== n=19: 12 组 ===
1. {3+5+5+5+5+5+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+6+7}
2. {3+3+5+5+5+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+7+7}
3. {5+5+5+5+5+6+6+7+7+9+9+9} = {2+2+2+2+2+3+3}
4. {3+3+5+5+6+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+2+2+7+7}
5. {5+5+5+5+6+6+6+7+7+8+9+9} = {1+2+2+2+2+3+3}
6. {3+3+3+5+5+8+9+9+9+9+9} = {1+2+2+6+6+7+7+7}
7. {3+3+5+6+6+8+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+1+2+7+7}
8. {5+5+5+6+6+6+6+7+7+8+8+9} = {1+1+2+2+2+3+3}
9. {3+3+3+3+5+9+9+9+9+9} = {2+6+6+6+6+7+7+7+7}
10. {3+3+6+6+6+8+8+8+8+8+9+9} = {1+1+1+1+1+7+7}
11. {5+5+6+6+6+6+6+7+7+8+8+8} = {1+1+1+2+2+3+3}
12. {3+3+3+3+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+6+7+7+7+7}
=== n=20: 18 组 ===
1. {3+5+5+5+5+5+8+9+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+2+7}
2. {5+5+5+5+5+5+6+7+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+2+3}
3. {3+5+5+5+5+6+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+2+7}
4. {5+5+5+5+5+6+6+7+8+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+2+3}
5. {3+3+5+5+5+5+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+6+6+7+7}
6. {3+5+5+5+6+6+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+2+2+2+7}
7. {5+5+5+5+6+6+6+7+8+8+9+9+9} = {1+1+2+2+2+2+3}
8. {3+5+5+6+6+6+8+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+1+2+2+7}
9. {5+5+5+6+6+6+6+7+8+8+8+9+9} = {1+1+1+2+2+2+3}
10. {3+3+3+5+5+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+6+7+7+7}
11. {3+5+6+6+6+6+8+8+8+8+8+9+9} = {1+1+1+1+1+2+7}
12. {5+5+6+6+6+6+6+7+8+8+8+8+9} = {1+1+1+1+2+2+3}
13. {3+3+3+3+5+8+9+9+9+9+9} = {1+2+6+6+6+7+7+7+7}
14. {3+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+9} = {1+1+1+1+1+1+7}
15. {5+6+6+6+6+6+6+7+8+8+8+8+8} = {1+1+1+1+1+2+3}
16. {3+3+3+3+8+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+1+7+7+7+7}
17. {3+3+3+3+3+9+9+9+9+9} = {6+6+6+6+6+7+7+7+7+7}
18. {5+5+5+5+6+6+6+6+7+7+7+7} = {2+2+2+2+3+3+3+3}
=== n=21: 18 组 ===
1. {5+5+5+5+5+5+5+9+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+2+2}
2. {5+5+5+5+5+5+6+8+9+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+2+2}
3. {5+5+5+5+5+6+6+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+2+2}
4. {5+5+5+5+6+6+6+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+2+2+2+2}
5. {3+3+5+5+5+5+8+9+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+6+7+7}
6. {5+5+5+6+6+6+6+8+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+1+2+2+2}
7. {3+3+3+5+5+5+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+6+6+6+7+7+7}
8. {5+5+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+9+9} = {1+1+1+1+1+2+2}
9. {3+3+3+5+5+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+2+2+7+7+7}
10. {5+5+5+5+5+6+6+6+7+7+7+9+9} = {2+2+2+2+2+3+3+3}
11. {5+6+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+9} = {1+1+1+1+1+1+2}
12. {3+3+3+5+6+8+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+1+2+7+7+7}
13. {5+5+5+5+6+6+6+6+7+7+7+8+9} = {1+2+2+2+2+3+3+3}
14. {3+3+3+3+5+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+2+6+6+7+7+7+7}
15. {6+6+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+8} = {1+1+1+1+1+1+1}
16. {3+3+3+6+6+8+8+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+1+1+7+7+7}
17. {5+5+5+6+6+6+6+6+7+7+7+8+8} = {1+1+2+2+2+3+3+3}
18. {3+3+3+3+3+8+9+9+9+9+9} = {1+6+6+6+6+7+7+7+7+7}
=== n=22: 15 组 ===
1. {3+5+5+5+5+5+5+9+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+2+6+7}
2. {3+3+5+5+5+5+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+2+7+7}
3. {5+5+5+5+5+5+6+6+7+7+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+2+3+3}
4. {3+3+5+5+5+6+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+2+2+2+7+7}
5. {5+5+5+5+5+6+6+6+7+7+8+9+9+9} = {1+2+2+2+2+2+3+3}
6. {3+3+3+5+5+5+8+9+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+6+6+7+7+7}
7. {3+3+5+5+6+6+8+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+1+2+2+7+7}
8. {5+5+5+5+6+6+6+6+7+7+8+8+9+9} = {1+1+2+2+2+2+3+3}
9. {3+3+3+3+5+5+9+9+9+9+9+9} = {2+2+6+6+6+6+7+7+7+7}
10. {3+3+5+6+6+6+8+8+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+1+1+2+7+7}
11. {5+5+5+6+6+6+6+6+7+7+8+8+8+9} = {1+1+1+2+2+2+3+3}
12. {3+3+3+3+5+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+2+6+7+7+7+7}
13. {3+3+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+9+9} = {1+1+1+1+1+1+7+7}
14. {5+5+6+6+6+6+6+6+7+7+8+8+8+8} = {1+1+1+1+2+2+3+3}
15. {3+3+3+3+3+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+6+6+6+7+7+7+7+7}
=== n=23: 23 组 ===
1. {3+5+5+5+5+5+5+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+2+2+7}
2. {5+5+5+5+5+5+5+6+7+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+2+2+3}
3. {3+5+5+5+5+5+6+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+2+2+7}
4. {5+5+5+5+5+5+6+6+7+8+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+2+2+3}
5. {3+3+5+5+5+5+5+9+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+6+6+7+7}
6. {3+5+5+5+5+6+6+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+2+2+2+2+7}
7. {5+5+5+5+5+6+6+6+7+8+8+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+2+2+3}
8. {3+5+5+5+6+6+6+8+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+1+2+2+2+7}
9. {5+5+5+5+6+6+6+6+7+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+2+2+2+2+3}
10. {3+3+3+5+5+5+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+6+7+7+7}
11. {3+5+5+6+6+6+6+8+8+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+1+1+2+2+7}
12. {5+5+5+6+6+6+6+6+7+8+8+8+8+9+9} = {1+1+1+1+2+2+2+3}
13. {3+3+3+3+5+5+8+9+9+9+9+9+9} = {1+2+2+6+6+6+7+7+7+7}
14. {3+5+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+9+9} = {1+1+1+1+1+1+2+7}
15. {5+5+6+6+6+6+6+6+7+8+8+8+8+8+9} = {1+1+1+1+1+2+2+3}
16. {3+3+3+3+5+8+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+2+7+7+7+7}
17. {3+3+3+3+3+5+9+9+9+9+9+9} = {2+6+6+6+6+6+7+7+7+7+7}
18. {5+5+5+5+5+6+6+6+6+7+7+7+7+9} = {2+2+2+2+2+3+3+3+3}
19. {3+6+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+8+9} = {1+1+1+1+1+1+1+7}
20. {5+6+6+6+6+6+6+6+7+8+8+8+8+8+8} = {1+1+1+1+1+1+2+3}
21. {3+3+3+3+6+8+8+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+7+7+7+7}
22. {5+5+5+5+6+6+6+6+6+7+7+7+7+8} = {1+2+2+2+2+3+3+3+3}
23. {3+3+3+3+3+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+6+6+7+7+7+7+7}
=== n=24: 23 组 ===
1. {5+5+5+5+5+5+5+5+9+9+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+2+2+2}
2. {5+5+5+5+5+5+5+6+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+2+2+2}
3. {5+5+5+5+5+5+6+6+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+2+2+2}
4. {5+5+5+5+5+6+6+6+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+2+2+2+2+2}
5. {3+3+5+5+5+5+5+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+2+6+7+7}
6. {5+5+5+5+6+6+6+6+8+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+1+2+2+2+2}
7. {3+3+3+5+5+5+5+9+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+6+6+6+7+7+7}
8. {5+5+5+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+1+1+2+2+2}
9. {3+3+3+5+5+5+8+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+2+2+2+7+7+7}
10. {5+5+5+5+5+5+6+6+6+7+7+7+9+9+9} = {2+2+2+2+2+2+3+3+3}
11. {5+5+6+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+9+9} = {1+1+1+1+1+1+2+2}
12. {3+3+3+5+5+6+8+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+2+2+7+7+7}
13. {5+5+5+5+5+6+6+6+6+7+7+7+8+9+9} = {1+2+2+2+2+2+3+3+3}
14. {3+3+3+3+5+5+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+6+6+7+7+7+7}
15. {5+6+6+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+8+9} = {1+1+1+1+1+1+1+2}
16. {3+3+3+5+6+6+8+8+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+2+7+7+7}
17. {5+5+5+5+6+6+6+6+6+7+7+7+8+8+9} = {1+1+2+2+2+2+3+3+3}
18. {3+3+3+3+3+5+8+9+9+9+9+9+9} = {1+2+6+6+6+6+7+7+7+7+7}
19. {6+6+6+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+8+8} = {1+1+1+1+1+1+1+1}
20. {3+3+3+6+6+6+8+8+8+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+1+1+1+7+7+7}
21. {5+5+5+6+6+6+6+6+6+7+7+7+8+8+8} = {1+1+1+2+2+2+3+3+3}
22. {3+3+3+3+3+8+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+6+7+7+7+7+7}
23. {3+3+3+3+3+3+9+9+9+9+9+9} = {6+6+6+6+6+6+7+7+7+7+7+7}
=== n=25: 20 组 ===
1. {3+5+5+5+5+5+5+5+9+9+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+2+2+6+7}
2. {3+3+5+5+5+5+5+8+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+2+2+7+7}
3. {5+5+5+5+5+5+5+6+6+7+7+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+2+2+3+3}
4. {3+3+5+5+5+5+6+8+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+2+2+2+2+7+7}
5. {5+5+5+5+5+5+6+6+6+7+7+8+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+2+2+3+3}
6. {3+3+3+5+5+5+5+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+6+6+7+7+7}
7. {3+3+5+5+5+6+6+8+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+2+2+2+7+7}
8. {5+5+5+5+5+6+6+6+6+7+7+8+8+9+9+9} = {1+1+2+2+2+2+2+3+3}
9. {3+3+3+3+5+5+5+9+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+6+6+6+6+7+7+7+7}
10. {3+3+5+5+6+6+6+8+8+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+2+2+7+7}
11. {5+5+5+5+6+6+6+6+6+7+7+8+8+8+9+9} = {1+1+1+2+2+2+2+3+3}
12. {3+3+3+3+5+5+8+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+2+2+6+7+7+7+7}
13. {3+3+5+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+1+1+1+2+7+7}
14. {5+5+5+6+6+6+6+6+6+7+7+8+8+8+8+9} = {1+1+1+1+2+2+2+3+3}
15. {3+3+3+3+3+5+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+2+6+6+6+7+7+7+7+7}
16. {3+3+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+8+9+9} = {1+1+1+1+1+1+1+7+7}
17. {5+5+6+6+6+6+6+6+6+7+7+8+8+8+8+8} = {1+1+1+1+1+2+2+3+3}
18. {3+3+3+3+3+8+8+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+7+7+7+7+7}
19. {3+3+3+3+3+3+8+9+9+9+9+9+9} = {1+6+6+6+6+6+7+7+7+7+7+7}
20. {5+5+5+5+5+6+6+6+6+6+7+7+7+7+7} = {2+2+2+2+2+3+3+3+3+3}
=== n=26: 28 组 ===
1. {3+5+5+5+5+5+5+5+8+9+9+9+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+2+2+2+7}
2. {5+5+5+5+5+5+5+5+6+7+9+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+2+2+2+3}
3. {3+5+5+5+5+5+5+6+8+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+2+2+2+7}
4. {5+5+5+5+5+5+5+6+6+7+8+9+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+2+2+2+3}
5. {3+3+5+5+5+5+5+5+9+9+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+2+6+6+7+7}
6. {3+5+5+5+5+5+6+6+8+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+2+2+2+2+2+7}
7. {5+5+5+5+5+5+6+6+6+7+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+2+2+2+3}
8. {3+5+5+5+5+6+6+6+8+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+2+2+2+2+7}
9. {5+5+5+5+5+6+6+6+6+7+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+2+2+2+2+2+3}
10. {3+3+3+5+5+5+5+8+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+2+6+7+7+7}
11. {3+5+5+5+6+6+6+6+8+8+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+2+2+2+7}
12. {5+5+5+5+6+6+6+6+6+7+8+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+1+2+2+2+2+3}
13. {3+3+3+3+5+5+5+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+6+6+6+7+7+7+7}
14. {3+5+5+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+1+1+1+2+2+7}
15. {5+5+5+6+6+6+6+6+6+7+8+8+8+8+8+9+9} = {1+1+1+1+1+2+2+2+3}
16. {3+3+3+3+5+5+8+8+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+2+2+7+7+7+7}
17. {3+3+3+3+3+5+5+9+9+9+9+9+9+9} = {2+2+6+6+6+6+6+7+7+7+7+7}
18. {5+5+5+5+5+5+6+6+6+6+7+7+7+7+9+9} = {2+2+2+2+2+2+3+3+3+3}
19. {3+5+6+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+8+9+9} = {1+1+1+1+1+1+1+2+7}
20. {5+5+6+6+6+6+6+6+6+7+8+8+8+8+8+8+9} = {1+1+1+1+1+1+2+2+3}
21. {3+3+3+3+5+6+8+8+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+2+7+7+7+7}
22. {5+5+5+5+5+6+6+6+6+6+7+7+7+7+8+9} = {1+2+2+2+2+2+3+3+3+3}
23. {3+3+3+3+3+5+8+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+2+6+6+7+7+7+7+7}
24. {3+6+6+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+8+8+9} = {1+1+1+1+1+1+1+1+7}
25. {5+6+6+6+6+6+6+6+6+7+8+8+8+8+8+8+8} = {1+1+1+1+1+1+1+2+3}
26. {3+3+3+3+6+6+8+8+8+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+1+7+7+7+7}
27. {5+5+5+5+6+6+6+6+6+6+7+7+7+7+8+8} = {1+1+2+2+2+2+3+3+3+3}
28. {3+3+3+3+3+3+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+6+6+6+6+7+7+7+7+7+7}
=== n=27: 27 组 ===
1. {5+5+5+5+5+5+5+5+5+9+9+9+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+2+2+2+2}
2. {5+5+5+5+5+5+5+5+6+8+9+9+9+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+2+2+2+2}
3. {5+5+5+5+5+5+5+6+6+8+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+2+2+2+2}
4. {5+5+5+5+5+5+6+6+6+8+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+2+2+2+2+2+2}
5. {3+3+5+5+5+5+5+5+8+9+9+9+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+2+2+6+7+7}
6. {5+5+5+5+5+6+6+6+6+8+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+2+2+2+2+2}
7. {3+3+3+5+5+5+5+5+9+9+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+6+6+6+7+7+7}
8. {5+5+5+5+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+2+2+2+2}
9. {3+3+3+5+5+5+5+8+8+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+2+2+2+2+7+7+7}
10. {5+5+5+5+5+5+5+6+6+6+7+7+7+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+2+2+3+3+3}
11. {5+5+5+6+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+1+1+1+2+2+2}
12. {3+3+3+5+5+5+6+8+8+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+2+2+2+7+7+7}
13. {5+5+5+5+5+5+6+6+6+6+7+7+7+8+9+9+9} = {1+2+2+2+2+2+2+3+3+3}
14. {3+3+3+3+5+5+5+8+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+6+6+7+7+7+7}
15. {5+5+6+6+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+8+9+9} = {1+1+1+1+1+1+1+2+2}
16. {3+3+3+5+5+6+6+8+8+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+2+2+7+7+7}
17. {5+5+5+5+5+6+6+6+6+6+7+7+7+8+8+9+9} = {1+1+2+2+2+2+2+3+3+3}
18. {3+3+3+3+3+5+5+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+2+2+6+6+6+6+7+7+7+7+7}
19. {5+6+6+6+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+8+8+9} = {1+1+1+1+1+1+1+1+2}
20. {3+3+3+5+6+6+6+8+8+8+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+1+2+7+7+7}
21. {5+5+5+5+6+6+6+6+6+6+7+7+7+8+8+8+9} = {1+1+1+2+2+2+2+3+3+3}
22. {3+3+3+3+3+5+8+8+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+2+6+7+7+7+7+7}
23. {3+3+3+3+3+3+5+9+9+9+9+9+9+9} = {2+6+6+6+6+6+6+7+7+7+7+7+7}
24. {6+6+6+6+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+8+8+8} = {1+1+1+1+1+1+1+1+1}
25. {3+3+3+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+1+1+1+1+7+7+7}
26. {5+5+5+6+6+6+6+6+6+6+7+7+7+8+8+8+8} = {1+1+1+1+2+2+2+3+3+3}
27. {3+3+3+3+3+3+8+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+6+6+6+7+7+7+7+7+7}
=== n=28: 26 组 ===
1. {3+5+5+5+5+5+5+5+5+9+9+9+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+2+2+2+6+7}
2. {3+3+5+5+5+5+5+5+8+8+9+9+9+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+2+2+2+7+7}
3. {5+5+5+5+5+5+5+5+6+6+7+7+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+2+2+2+3+3}
4. {3+3+5+5+5+5+5+6+8+8+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+2+2+2+2+2+7+7}
5. {5+5+5+5+5+5+5+6+6+6+7+7+8+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+2+2+2+3+3}
6. {3+3+3+5+5+5+5+5+8+9+9+9+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+2+6+6+7+7+7}
7. {3+3+5+5+5+5+6+6+8+8+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+2+2+2+2+7+7}
8. {5+5+5+5+5+5+6+6+6+6+7+7+8+8+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+2+2+2+3+3}
9. {3+3+3+3+5+5+5+5+9+9+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+6+6+6+6+7+7+7+7}
10. {3+3+5+5+5+6+6+6+8+8+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+2+2+2+7+7}
11. {5+5+5+5+5+6+6+6+6+6+7+7+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+2+2+2+2+2+3+3}
12. {3+3+3+3+5+5+5+8+8+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+2+2+2+6+7+7+7+7}
13. {3+3+5+5+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+1+2+2+7+7}
14. {5+5+5+5+6+6+6+6+6+6+7+7+8+8+8+8+9+9} = {1+1+1+1+2+2+2+2+3+3}
15. {3+3+3+3+3+5+5+8+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+6+6+6+7+7+7+7+7}
16. {3+3+5+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+1+1+1+1+2+7+7}
17. {5+5+5+6+6+6+6+6+6+6+7+7+8+8+8+8+8+9} = {1+1+1+1+1+2+2+2+3+3}
18. {3+3+3+3+3+5+8+8+8+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+2+7+7+7+7+7}
19. {3+3+3+3+3+3+5+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+2+6+6+6+6+6+7+7+7+7+7+7}
20. {5+5+5+5+5+5+6+6+6+6+6+7+7+7+7+7+9} = {2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3}
21. {3+3+6+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+8+8+9+9} = {1+1+1+1+1+1+1+1+7+7}
22. {5+5+6+6+6+6+6+6+6+6+7+7+8+8+8+8+8+8} = {1+1+1+1+1+1+2+2+3+3}
23. {3+3+3+3+3+6+8+8+8+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+1+7+7+7+7+7}
24. {5+5+5+5+5+6+6+6+6+6+6+7+7+7+7+7+8} = {1+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3}
25. {3+3+3+3+3+3+8+8+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+6+6+7+7+7+7+7+7}
26. {3+3+3+3+3+3+3+9+9+9+9+9+9+9} = {6+6+6+6+6+6+6+7+7+7+7+7+7+7}
=== n=29: 34 组 ===
1. {3+5+5+5+5+5+5+5+5+8+9+9+9+9+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+2+2+2+2+7}
2. {5+5+5+5+5+5+5+5+5+6+7+9+9+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+2+2+2+2+3}
3. {3+5+5+5+5+5+5+5+6+8+8+9+9+9+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+2+2+2+2+7}
4. {5+5+5+5+5+5+5+5+6+6+7+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+2+2+2+2+3}
5. {3+3+5+5+5+5+5+5+5+9+9+9+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+2+2+2+2+6+6+7+7}
6. {3+5+5+5+5+5+5+6+6+8+8+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+2+2+2+2+2+2+7}
7. {5+5+5+5+5+5+5+6+6+6+7+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+2+2+2+2+3}
8. {3+5+5+5+5+5+6+6+6+8+8+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+2+2+2+2+2+7}
9. {5+5+5+5+5+5+6+6+6+6+7+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+2+2+2+2+2+2+3}
10. {3+3+3+5+5+5+5+5+8+8+9+9+9+9+9+9+9+9} = {1+1+2+2+2+2+2+6+7+7+7}
11. {3+5+5+5+5+6+6+6+6+8+8+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+2+2+2+2+7}
12. {5+5+5+5+5+6+6+6+6+6+7+8+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+1+2+2+2+2+2+3}
13. {3+3+3+3+5+5+5+5+8+9+9+9+9+9+9+9+9} = {1+2+2+2+2+6+6+6+7+7+7+7}
14. {3+5+5+5+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+1+2+2+2+7}
15. {5+5+5+5+6+6+6+6+6+6+7+8+8+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+1+1+2+2+2+2+3}
16. {3+3+3+3+5+5+5+8+8+8+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+2+2+2+7+7+7+7}
17. {3+3+3+3+3+5+5+5+9+9+9+9+9+9+9+9} = {2+2+2+6+6+6+6+6+7+7+7+7+7}
18. {5+5+5+5+5+5+5+6+6+6+6+7+7+7+7+9+9+9} = {2+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3}
19. {3+5+5+6+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+8+9+9+9} = {1+1+1+1+1+1+1+2+2+7}
20. {5+5+5+6+6+6+6+6+6+6+7+8+8+8+8+8+8+9+9} = {1+1+1+1+1+1+2+2+2+3}
21. {3+3+3+3+5+5+6+8+8+8+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+2+2+7+7+7+7}
22. {5+5+5+5+5+5+6+6+6+6+6+7+7+7+7+8+9+9} = {1+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3}
23. {3+3+3+3+3+5+5+8+8+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+2+2+6+6+7+7+7+7+7}
24. {3+5+6+6+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+8+8+9+9} = {1+1+1+1+1+1+1+1+2+7}
25. {5+5+6+6+6+6+6+6+6+6+7+8+8+8+8+8+8+8+9} = {1+1+1+1+1+1+1+2+2+3}
26. {3+3+3+3+5+6+6+8+8+8+8+8+8+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+1+2+7+7+7+7}
27. {5+5+5+5+5+6+6+6+6+6+6+7+7+7+7+8+8+9} = {1+1+2+2+2+2+2+3+3+3+3}
28. {3+3+3+3+3+3+5+8+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+1+2+6+6+6+6+7+7+7+7+7+7}
29. {3+6+6+6+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+8+8+8+9} = {1+1+1+1+1+1+1+1+1+7}
30. {5+6+6+6+6+6+6+6+6+6+7+8+8+8+8+8+8+8+8} = {1+1+1+1+1+1+1+1+2+3}
31. {3+3+3+3+6+6+6+8+8+8+8+8+8+8+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+1+1+7+7+7+7}
32. {5+5+5+5+6+6+6+6+6+6+6+7+7+7+7+8+8+8} = {1+1+1+2+2+2+2+3+3+3+3}
33. {3+3+3+3+3+3+8+8+8+8+8+9+9+9+9+9+9} = {1+1+1+1+1+6+7+7+7+7+7+7}
34. {3+3+3+3+3+3+3+8+9+9+9+9+9+9+9} = {1+6+6+6+6+6+6+7+7+7+7+7+7+7}


得到一串数{3:2, 4:1, 5:2, 6:3, 7:1, 8:5, 9:5, 10:3, 11:7, 12:7, 13:6, 14:10, 15:10, 16:9, 17:13, 18:14, 19:12, 20:18, 21:18, 22:15, 23:23, 24:23, 25:20, 26:28, 27:27, 28:26, 29:34, 30:33, 31:31, 32:40

王守恩

\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)
\(\cos\frac{\pi}{5}+\cos\frac{3\pi}{5}=\frac{1}{2}\)
\(\cos\frac{\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{5\pi}{7}=\frac{1}{2}\)
\(\cos\frac{\pi}{9}+\cos\frac{3\pi}{9}+\cos\frac{5\pi}{9}+\cos\frac{7\pi}{9}=\frac{1}{2}\)
\(\cos\frac{\pi}{11}+\cos\frac{3\pi}{11}+\cos\frac{5\pi}{11}+\cos\frac{7\pi}{11}+\cos\frac{9\pi}{11}=\frac{1}{2}\)
\(\cos\frac{\pi}{13}+\cos\frac{3\pi}{13}+\cos\frac{5\pi}{13}+\cos\frac{7\pi}{13}+\cos\frac{9\pi}{13}+\cos\frac{11\pi}{13}=\frac{1}{2}\)
\(\cos\frac{\pi}{15}+\cos\frac{3\pi}{15}+\cos\frac{5\pi}{15}+\cos\frac{7\pi}{15}+\cos\frac{9\pi}{15}+\cos\frac{11\pi}{15}+\cos\frac{13\pi}{15}=\frac{1}{2}\)
\(\cos\frac{\pi}{17}+\cos\frac{3\pi}{17}+\cos\frac{5\pi}{17}+\cos\frac{7\pi}{17}+\cos\frac{9\pi}{17}+\cos\frac{11\pi}{17}+\cos\frac{13\pi}{17}+\cos\frac{15\pi}{17}=\frac{1}{2}\)
\(\cos\frac{\pi}{19}+\cos\frac{3\pi}{19}+\cos\frac{5\pi}{19}+\cos\frac{7\pi}{19}+\cos\frac{9\pi}{19}+\cos\frac{11\pi}{19}+\cos\frac{13\pi}{19}+\cos\frac{15\pi}{19}+\cos\frac{17\pi}{19}=\frac{1}{2}\)

王守恩

类似的题目——数学研发论坛»论坛›【数学研究】›趣题妙解›一個求角難題，嘗試能否用AI解答

△ABC,  已知 AB = AC,  AE  = CE,  AD = BC  = EF = 1,  D F = \sqrt{3},  求 ∠A 。

1, ∠A = 2a,   CF = CF,   BE = BE, CF + BE = CD,   用余弦定理。
NSolve[{1/Sin[4 a] == (CF + 1)/Cos[a] == BE/Cos[3 a], 3 == CF^2 + (CF + BE)^2 - 2 CF (CF + BE) Cos[2 a], 1/2 > a > 0}, {a,CF, BE}]
{{a -> 0.1428, CF -> 0.83083, BE -> 1.68251}}

2, ∠A = 2a,  CF = Cos[a]/Sin[4 a] - 1,  BE = Cos[3 a]/Sin[4 a]。替代——余弦定理。
NSolve[{3 == (Cos[a]/Sin[4 a] - 1)^2 + (Cos[a]/Sin[4 a] - 1 + Cos[3 a]/Sin[4 a])^2 - 2 (Cos[a]/Sin[4 a] - 1) (Cos[a]/Sin[4 a] - 1 + Cos[3 a]/Sin[4 a]) Cos[2 a], 1/2 > a > 0}, {a}]
{{a -> 0.1428}}

3, ∠A = 2a, 化简。a可以有一个漂亮的方程。
NSolve[{ Sin[a] + Cos[2 a] - Sin[3 a] - Cos[4 a] + Sin[5 a] == 1/2, 1/2 > a > 0}, {a}]
{{a -> 0.1428}}

4, a = Pi/22——正确！
FullSimplify[(Sin[Pi/22] + Cos[2 Pi/22] - Sin[3 Pi/22] - Cos[4 Pi/22] + Sin[5 Pi/22])/( Cos[Pi/11] + Cos[3 Pi/11] + Cos[5 Pi/11] + Cos[7 Pi/11] + Cos[9 Pi/11])]
1