西电入学试题 A ：已知 {sinθ，sin2θ，sin3θ}={cosθ，cos2θ，cos3θ} ，求 θ

dodonaomikiki

\(          \lbrace     sin \theta    ,    sin2 \theta  ,sin3 \theta     \rbrace=\lbrace             cos \theta    ,cos2     \theta               ,cos3 \theta          \rbrace                \)
\(               这个时候， \theta   等于多少？            \)

luyuanhong

下面是网友波斯猫猫 过去在《数学中国》论坛上发表过的一个帖子：

已知{sinθ，sin2θ，sin3θ}={cosθ，cos2θ，cos3θ}，求tanθ.

思路：∵{sinθ，sin2θ，sin3θ}={cosθ，cos2θ，cos3θ}，

∴ sinθ+sin2θ+sin3θ=cosθ+cos2θ+cos3θ，

sin2θ+2sin2θcosθ=cos2θ+2cos2θcosθ，

(sin2θ-cos2θ)(2cosθ+1)=0，

∴tan2θ=1，或cosθ=-1/2. 以下是验证，

当tan2θ=1时，θ=kπ/2+π/8，2θ=2kπ/2+2π/8，

3θ=3kπ/2+3π/8，(k∈Z)，

(1)k为偶数时，

sinθ=±sin(π/8)，sin2θ=sin(2π/8)，sin3θ=±sin(3π/8)
                     
cosθ=±cos(π/8)=±sin(π/2-π/8)=±sin(3π/8)=sin3θ，
                       
cos2θ=cos(2π/8)=sin(2π/8)=sin2θ，
                     
cos3θ=±cos(3π/8)=±cos(π/2-π/8)=±sin(π/8)=sinθ

(2)k为奇数时，可同样验证，略.

当cosθ=-1/2时，θ=(2k+1)π±π/3，cos2θ=cos(±2π/3)=-1/2，

∴ cosθ=cos2θ (不满足元素的互异性，舍去).

故由tan2θ=1易得，tanθ=±√2-1.

luyuanhong

下面是网友 Treenewbee 过去在《数学中国》论坛上发表过的一个帖子：

dodonaomikiki

我想提供一种比较平庸的方法！
让比较平庸的学生或者基础不怎么强悍的学生，也能看懂！



分三种情形：


\(
先来看第一种情形：                        \\


sin     \theta  =cos     \theta                    \\
\Longrightarrow        \theta=45°,那自然就会得到：sin2   \theta=1                    \\
可是  cos  \theta,   cos2  \theta  ,cos3  \theta无论如何都取不到1                    \\
\Longrightarrow        \theta=225°，sin2   \theta=1                    \\
可是这个时候呢，  cos  \theta,   cos2  \theta  ,cos3  \theta也无论如何都取不到1                    \\
排除...\)




   

dodonaomikiki

\(
再来看第二种情形：                        \\


sin     \theta  =cos    2 \theta                    \\
\Longrightarrow      2sin  ^2   \theta-  sin     \theta-1=0                  \\
\Longrightarrow      (2sin    \theta+1 )( sin     \theta-1    )=0                  \\
当我们取 sin    \theta-1=0时，亦即  \theta=90°                  \\
这个时候呢， cos  \theta,   cos2  \theta  ,cos3  \theta具体取值情况如下：              \\
cos 90°=0，    cos 180°=-1，   cos 270°=0                  \\
也就是，无路如何都取不到1.                  \\



当我们取 sin     \theta=\frac{-1}{   2}     时，亦即  \theta=-30°                  \\
这个时候呢， sin3  \theta   =-1               \\
且看cos  \theta,   cos2  \theta  ,cos3  \theta具体取值情况如下：              \\
cos(-30°  ) =\frac{ \sqrt{3}   }{2}  ，    cos(  -60°   ) =\frac{1}{   2} ，    cos(  -90°   ) =  0              \\
也就是説，无论如何都取不到-1.                  \\



排除...\)

dodonaomikiki

\(
再来看第三种情形：    sin     \theta=cos   3 \theta                    \\
也就是最后一种情形                      \\


cos   3 \theta - sin     \theta               \\
=cos( 2 \theta     + \theta   ) -sin( 2 \theta     - \theta   )               \\
=(  cos    2\theta-    sin 2 \theta    )(   cos    \theta +sin     \theta ) =0              \\
因为第二项已经在第一种情形下【解决掉啦】，               \\
我们只要考虑第一项。               \\
cos    2\theta-    sin 2 \theta             =0               \\
\Longrightarrow        显然的，  2 \theta=k\pi+\frac{\pi}{4}        \\
\Longrightarrow       \theta=\frac{k\pi}{   2}+\frac{\pi}{8}             \\
然后，具体计算请见图！                   \\










正好符合题意\)