已知 a＞0 ，b＞0 ，且 8／a+1／b=1 ，求 √(a^2+b^2) 的最小值

波斯猫猫

《数学期刊》
原创顺德区林国红名师工作室2026年9月17日22:45广东

luyuanhong发表于 2026-9-24 18:30

已知a＞0,b＞0,且 8/a+1/b=1,求√(a^2+b^2)的最小值.

思路：在坐标系中，如图，直线x/a+y/b=1过点P(8,1)，

∴ √(a^2+b^2)/√[(a-8)^2+1]=a/(a-8)，

即y^2=a^2[(a-8)^2+1]/(a-8)^2

=(x+8)^2(x^2+1)/x^2   (令a-8=x)

=(x^2+8/x+8/x)+(8x+8x+64/x^2)+65

≥12+48+65=125,或y=√(a^2+b^2)≥5√5.

(低调的赋予几何意义，自得其乐)

luyuanhong

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用向量方法