证明：阶数为整数 n 的贝塞尔函数 Jn(x) 满足贝塞尔方程

wilsony

谁能证明？

cgl_74

# 贝塞尔函数积分表示验证贝塞尔方程

# 问题陈述

已知整数阶贝塞尔函数的积分表示为：

$J_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(n\varphi-x\sin\varphi)\,d\varphi$

需证明它满足 $n$ 阶贝塞尔方程：

$x^2 J_n''(x)+x J_n'(x)+(x^2-n^2)J_n(x)=0$

# 证明过程

## 第一步：积分号下求导

记 $F(\varphi,x)=\cos(n\varphi-x\sin\varphi)$，对 $x$ 求导：

**一阶导数：**

$J_n'(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\partial F}{\partial x}d\varphi=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\cdot \sin(n\varphi-x\sin\varphi)\,d\varphi$

**二阶导数：**

$J_n''(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}d\varphi=-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin^2\varphi\cdot \cos(n\varphi-x\sin\varphi)\,d\varphi$

## 第二步：代入贝塞尔方程左边

将 $J_n, J_n', J_n''$ 代入贝塞尔方程左边，记为 $L$：

$\begin{aligned}L&=x^2 J_n''(x)+x J_n'(x)+(x^2-n^2)J_n(x)\\&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\Big[-x^2\sin^2\varphi \cos(n\varphi-x\sin\varphi)+x\sin\varphi\sin(n\varphi-x\sin\varphi)+(x^2-n^2)\cos(n\varphi-x\sin\varphi)\Big]d\varphi\end{aligned}$

利用三角恒等式 $1-\sin^2\varphi=\cos^2\varphi$，即 $-x^2\sin^2\varphi+x^2 = x^2\cos^2\varphi$，整理得：

$L=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\Big[(x^2\cos^2\varphi-n^2)\cos(n\varphi-x\sin\varphi)+x\sin\varphi\sin(n\varphi-x\sin\varphi)\Big]d\varphi$

## 第三步：凑全微分

关键技巧：将被积函数凑成对 $\varphi$ 的全导数。令：

$G(\varphi)=-(n+x\cos\varphi)\sin(n\varphi-x\sin\varphi)$

对 $\varphi$ 求导验证：

$\begin{aligned}\frac{dG}{d\varphi}&=x\sin\varphi\cdot \sin(n\varphi-x\sin\varphi)-(n+x\cos\varphi)\cdot(n - x\cos\varphi)\cos(n\varphi-x\sin\varphi)\\&=x\sin\varphi\sin(n\varphi-x\sin\varphi)-(n^2-x^2\cos^2\varphi)\cos(n\varphi-x\sin\varphi)\\&=-\Big[(x^2\cos^2\varphi-n^2)\cos(n\varphi-x\sin\varphi)+x\sin\varphi\sin(n\varphi-x\sin\varphi)\Big]\end{aligned}$

恰好是被积函数的相反数。因此：

$L=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left(-\frac{dG}{d\varphi}\right)d\varphi=-\frac{1}{\pi}\,G(\varphi)\Big|_{0}^{\pi}$

## 第四步：边界条件验证

代入上下限 $\varphi=\pi$ 和 $\varphi=0$：

**上限 **$\varphi=\pi$**：**

$G(\pi)=-(n+x\cos\pi)\sin(n\pi-x\sin\pi)=-(n-x)\sin n\pi=0$

**下限 **$\varphi=0$**：**

$G(0)=-(n+x\cos0)\sin(0-0)=-(n+x)\sin 0=0$

这里利用了 $n$ 为整数时 $\sin n\pi=0$ 的性质。

# 结论

$L=-\frac{1}{\pi}\big[G(\pi)-G(0)\big]=-\frac{1}{\pi}(0-0)=0$

因此积分形式的贝塞尔函数满足贝塞尔方程：

$x^2 J_n''(x)+x J_n'(x)+(x^2-n^2)J_n(x)=0$

# 方法要点

1. **积分号下求导**：对参数 $x$ 求导时，将求导移入积分号内，仅对被积函数中的 $x$ 部分求导。

2. **凑全微分**：证明的核心技巧是把积分被积函数凑成对积分变量 $\varphi$ 的全导数，从而将定积分转化为边界项之差。

3. **边界归零**：利用整数阶 $\sin n\pi=0$ 和 $\sin 0=0$，使上下限处的边界项均为零，积分结果为零。

> （注：部分内容由豆包工作 AI 生成）

wilsony

谢谢cgl_74。