【最最基础的复变函数】欧拉公式，咋证明？有无更加通俗的、亲切可人の证明方法？感谢

dodonaomiki

数学史上，很多公式都是Leonhard Euler 【1707-1783年】发现的，
它们都叫欧拉公式，分布在各个数学分支之中

e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，
它在复变函数，占据非常重要的地位

dodonaomiki

我I
很想知道，证明①中，
这里为什么会相等？


非常感谢！

dodonaomiki

我另外，附加两种证明


但是，我对上楼的证明独有情钟

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

awei

dodonaomiki 发表于 2017-3-26 10:52
我I
很想知道，证明①中，
这里为什么会相等？

证法1的确很简单，因为z＝x+iy，所以e^z=e^（x+iy），复指数函数的定义，其中的一条自反性，通俗的讲自己要等于自己。e^（x+iy）=e^x*e^iy＝e^x*（cos y+i sin y），欧拉公式e^iθ＝cos θ＋i sinθ楼主不是已经证明过了，难道这个还有疑问？欧拉那帮大神都是几百年前的，怎么就那么牛x，呵呵！

awei

有木有更通俗点证明欧拉公式的方法呢？陆老师的也属于大神级的，太厉害！

elimqiu

本来 e^(x+i y)=e^x(cos y+i sin y) 是定义．现在要证它，只有另行定义指数函数．

例如可以定义 e^z = ∑(z^n)/n!  (从n=0 起取和)
由这个级数的绝对收敛性可得e^u e^v = e^(u+v)
于是 e^(x+i y)=e^x e^(i y). 现在 e^(iy)=cos y+i sin y
从各函数的级数形式立即可得．


也可由 e^0=1, (e^w-1)/w →1(w→0)这些从定义
来的简单事实，推出
(e^(z+w)-e^z)/w = e^z(e^w-1)/w→e^z 即(e^z)' = e^z
进而 (e^(iy))' = i e^(iy), 由此从 e^(iy) 实部虚部满足
的微分方程推出 e^(iy)=cos y+i sin y.

awei

elimqiu 发表于 2017-3-26 16:40
本来 e^(x+i y)=e^x(cos y+i sin y) 是定义．现在要证它，只有另行定义指数函数．

例如可以定义 e^z =  ...

lim (w→0）(e^w-1)/w 的极限应该是ln w，不明白elimqiu老师的符号什么意思。e^x的导数还是e^x，晓得能看懂。微分方程明天再看，晚安！

elimqiu

awei 发表于 2017-3-26 17:44
lim (w→0）(e^w-1)/w 的极限应该是ln w，不明白elimqiu老师的符号什么意思。e^x的导数还是e^x，晓得能看 ...

awei

elimqiu 发表于 2017-3-26 19:20

谢谢elimqiu老师！都是大神！很详细，看明白了。