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梅涅劳斯定理新解

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发表于 2009-1-3 13:24 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 天山草 于 2022-2-6 12:44 编辑

[这个贴子最后由天山草在 2009/01/03 01:38pm 第 2 次编辑]




三角形 ABC 外有一条直线,三角形各边的延长线与之交于 D、E、F 三点,如上图。
图中有许多线段,这些线段的长度之间有一定关系,其中就有“梅涅劳斯定理”之说。
不过,人们心目中的“梅涅劳斯定理”可能与本人理解的不尽相同——因为梅氏定理说的是六条线段构成的三个比例,它们之积恒等于 1。而本人认为这定理中也可以有八条线段、构成四个比例,其乘积也恒等于 1,如上图所示。
    上图中有许多个等式,难以记忆。但是,这些等式都有一个共同的规律,记住了这个规律,就记住了更加普遍的梅氏定理,或者推广的梅氏定理。
    假定 A、B、C、D、E、F 是六个城市,您在其中一个城市居住。现在您从居住地出发,打算周游其它五个城市后,再回到居住地。游历路线可以有许多种,但必须遵守一个规律,就是每行进二段路,做一个二段路长度的“比例”,这两段路要在同一条直线上。把这些“比例”值相乘。当您回到出发地时,这些比例相乘的结果就是 1。
    在图中各式中,将每个字母看成是“分子”、“分母”能相约的(相同字母可约去),则相约的结果就是 1。如果“约”不干净,那公式就是写错了。
    例如最后那个公式:您的居住地就是城市 C,从 C 出发,走到 E 市,再沿同一直线去城市 A;这是一个回合,构成比例 CE/EA。第二个回合从 A 市出发,先到 B,再从 B 到 F;这第二个回合,构成比例 AB/BF。第三个回合从 F 出发,先到 E,再从 E 到 D,构成比例 FE/ED。第四个回合,从 D 出发,先到 B,再回到 C,就完成了旅游。最后一个回合构成比例 DB/BC。这四个比例相乘,结果必为 1。
    从 C 点出发时,可以有三种选择,因此就可写出几种公式。

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发表于 2009-1-4 01:22 | 显示全部楼层

梅涅劳斯定理新解

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/01/21 10:30pm 第 2 次编辑]

楼上天山草发现的这个定理,确实很妙!而且这个定理还可以进一步推广到5个、6个比例的乘积,例如还有:
(AB/BF)(FD/DE)(EF/FD)(DB/BC)(CE/EA)=1 ,(AB/BF)(FA/AB)(BC/CD)(DF/FE)(EA/AC)(CE/EA)=1 , 等等。
对 1个、2个比例的乘积,定理也成立,例如: AB/BA=1 ,(AF/FB)(BF/FA)=1 ,等等,不过这太简单了,几乎不值得一提。
对6个以上的比例的乘积,因为总是可以拆分成几个不超过6个比例的乘积的乘积,所以,定理一定也成立。

点评

DF可以约分,没多少意思  发表于 2022-2-3 20:54
 楼主| 发表于 2009-1-4 22:36 | 显示全部楼层

梅涅劳斯定理新解

谢谢陆教授光临本帖。只有您是识货的。
发表于 2009-1-5 21:06 | 显示全部楼层

梅涅劳斯定理新解

两位的发现很巧妙
发表于 2009-1-21 22:32 | 显示全部楼层

梅涅劳斯定理新解

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/01/21 10:33pm 第 1 次编辑]

关于这个定理的证明,参看我在《数学中国》《基础数学》发表的帖子:
“完全四边形环游定理”
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=5362

点评

打不开链接  发表于 2022-2-3 20:55
发表于 2009-1-22 07:46 | 显示全部楼层

梅涅劳斯定理新解

你们都很好!
发表于 2009-1-31 12:29 | 显示全部楼层

梅涅劳斯定理新解


    怎么啦草哥?难道我们两口子不来给您拜个年,您就不出山了吗?!
     :em01:  :em02:  :em03:  :em04:  :em05:  :em06:  :em07:  :em08:  :em09:  :em10:  :em11:  :em12:  :em13:  :em14:  :em15:  :em16:

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发表于 2009-2-2 17:57 | 显示全部楼层

梅涅劳斯定理新解


    天山草大哥:我就不信奥巴马这小子上任后就会超过我! :em11:  :em12:

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发表于 2009-2-4 08:16 | 显示全部楼层

梅涅劳斯定理新解

下面引用由愚蠢的驴子2009/02/04 01:33am 发表的内容:
还是让偶给大家展示一下“没捏老实腚里”的真相吧!
    驴子的本事真大,
    能从不穿裤子的那里,
                        ---- 找到腚里(定理)。
发表于 2009-2-4 08:40 | 显示全部楼层

梅涅劳斯定理新解

能人真多!
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