圆内角和圆外角及圆内接四点形

ccmmjj

今天先发第一帖：圆内角和圆外角定理
如图：蓝角位于圆外，红角位于圆内。它们所对的弧都是　α  ，   β（α>β）。α  ，   β也是用弧所对的圆心角来表示。于是有以下结论：
蓝角＝（α－β）/2 ; 红角＝（α + β）/2 ，或者　红角+蓝角＝α；红角－蓝角＝β　。

证明很简单，留给有兴趣的网友。
下面一个例子对第二帖很重要。

例：圆外直角两边将圆分成　α  、 β 、γ 、 δ　四段（α 、 β如上 ）。则有2β +γ +δ＝180°.
证明：如上定理，有　α－β＝180°   (1)
　　　　　又有  α+β +γ+δ=360°   (2)
　　　　　两式相减即得。

drc2000再来

ccmmjj定理深刻刻画了圆内外角与圆周角的度量关系，
是传统的园内角>圆周角>圆外角的定理本质上的 升级。

ccmmjj

四点形的定义
空间中四点和它们所连接成的线段组成的图形叫作四点形。这些点叫作四点形的顶点，这些线段叫作四点形的边。由都不相同的两点连接的两边称为四点的对边。
根据以上定义，可以知道，一个四点形有六条边，分成三组对边。
定义：当这四点形在同一平面上时，称为平面四点形，当四点共圆时称为圆内接四点形。
四点形图例　接顺序为一般四点形，平面四点形，圆内接四点形。

下面是关于四点形的一个重要定理
四点形勾股定理：当四点形有一组对边互相垂直时，另两组对边的平方和相等。
证明放在第三帖。有兴趣的网友先思考。

ccmmjj

四点形勾股定理：当四点形有一组对边互相垂直时，另两组对边的平方和相等。


如图：四点形ＡＢＣＤ有ＡＢ⊥ＣＤ。求证：AC^2+BD^2=AD^+BC^2
证明：从一点Ｏ到Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ作向量 a,b,c,d，由已知ＡＢ⊥ＣＤ，
则有， (b-a)·(d-c)=0,　即有 ac+bd=bc+ad . (*)
而　　　AC^2+BD^2=(c-a)^2+(d-b)^2=a^2+b^2+c^2+d^2-2(ac+bd)
同理　　　AD^+BC^2＝a^2+b^2+c^2+d^2-2(ad+bc)
对应（*）比较两式右边，即得AC^2+BD^2=AD^+BC^2。

从证明过程可以看出这个结论的可逆性，于是又有：
四点形勾股逆定理：当四点形有两组对边的平方和相等，则另一组对边互相垂直。

ccmmjj

关于这个定理，有几个有趣的推论：
推论１：四点形若有两组对边互相垂直，则第三组对边也互相垂直。
在平面上三组对边互相垂直的四点形，我们叫作垂心四点形。所谓垂心四点形，其实就是其中三点组成三角形，而第四点正是这个三角形的垂心。这样的四点显然不能是凸四边形的顶点。
推论２：垂心四点形三组对边的平方和等于其任意三点的外接圆直径的平方。

证明不很难，如图，先证明四个圆是等圆，然后在中间那个圆上画辅助线（黑线）在直角三角形ＢＣＥ上证明ＣＥ＝ＡＤ即可。
如果把问题考虑到空间。有一个简单的结论，因为它不是上帖的直接推论，我们只述其文字，略而不证。
四面体如三组对边互相垂直，则其中一点往其对面投影即为对面三角形之垂心。

如图ＡＨ垂直平面ＢＣＤ于Ｈ，则Ｈ是三角形ＢＣＤ的垂心。即ＨＢＣＤ可构成垂心四点形。
推论３：若四点形中有一点连接的三条边两两垂直，则此四点形必是三组对边互相垂直的四点形，并且对边的平方和等于其外接球直径的平方。
这个简单证明留给有兴趣的网友。

ccmmjj

最后一帖。
定理：圆内接四点形如果有一组对边互相垂直，则另两组对边的平方和都等于直径的平方。

证明；如图（１）及图（２），取圆心Ｏ为向量始点。四向量（蓝色线段）矢径长度都等于半径　r，
由四楼的证明可以知道，
AC^2+BD^2=a^2+b^2+c^2+d^2-2(ac+bd)＝4r^2+2r^2(cos∠AOC+cos∠BOD),
无论从哪一个图来看，也根据一楼关于圆内（外）角的主帖，∠AOC+∠BOD都等于180°。（圆外直角那个正好是一楼的例）
这就告诉我们　cos∠AOC+cos∠BOD＝0　。
即有　AC^2+BD^2=　AD^+BC^2＝4r^2=(2r)^2

这个定理换一种说法就是：圆内接四点形如果有两组对边平方和相等，则此平方和等于直径的平方