\(\large\textbf{数学哲学基本问题}\)

elim

(1) 什么是数学？
(2) 什么是数学真理？ 有没有数学真理？
(3) 数学与现实世界的关系是什么？

首先需要面对的是数学究竟是什么的问题。而这个问题就像“存在是什么”
的问题一样，是普遍认为‘自明’，却最难找到公认的终极答案的问题。

人类自然语言一般地总是将一种活动和相应的学问用同一个名词来指称. 于是
数学的应用，问题和猜想，数学的研究发现，争论与数学理论等等常常都被
泛称为数学。这使得哲学地界定何谓数学变得十分必要但又极具争议性。

就哲学本身来说，事实上所有的研究，分歧都可以归咎为哲学范畴的定义问题，
这就是为什么现代哲学基本上就是语言哲学。人类从来没有在任何范畴上达成
过一致。如果说人类的认识永远不会停留在一个水平上，那么哲学就永远搞不
定任何基本定义。基于这种认识，哲学应该追求并满足于相对合宜的，即反映
当下认知，尽可能具有前瞻性的定义。

现代数学理论的基本框架是探究数学的真理性的结果。人们发现，数学的真理
性只能表现为相容性, 可证性，可构造性及可计算性，所以只对形式系统才有意
义。所以能够谈论真理性的数学只能是形式系统。这导致哲学语境下的数学只
能是某些形式系统。

如何论证一个数学命题? 显然这个命题必须被无异义地被表达出来．

这就要求命题所提及的所有概念都有明确的定义．然而定义不过是将被定义的
概念用更一般的，更基本的概念，加上适当的限制来界定的一个陈述．具有一
般形式【A是具有性质X的B】. 所以概念A的定义要求X, B 有明确的定义. 不难
理解，这种“寻根行为”不能无止境地进行下去，必须停止在某个水平.  于是
就有一些基本概念及基本性质(关系)是不被定义的. 不被定义的这些概念, 关系
叫作元词, 元谊.  这些东西的数学意义虽然没有用定义给出, 却被一些基本命题
(公理)所揭示, 所限定．

元词元谊公设(公理)加上数理逻辑，就构成一个形式系统．

例如欧氏几何中的点，线，面等就是元词(不加定义的几何对象), "在...上" 就是
一个元谊(不加定义的关系). "有且仅有一直线过给定的不同两点"就是一条公理．

由上可见，形式化是数学基础研究明晰性要求的必然结果．否定形式方法的唯
一用处就是混淆是非．数学的形式化并不添加悖论，不相容性，不可解问题．
除非这些问题在非形式化的数学里已经存在．

几何学的形式化努力的第一个里程碑是欧几里德的【几何原本】,第二个里程碑
是希尔伯特的【几何基础】. 从算术到代数的过程就是形式化过程. 数学的拓展
是引入更多的形式，数学的深入是发现更抽象的形式....
可以这么说，就算没有希尔伯特形式化纲领，数学的发展也一样会日益走向形
式化．希尔伯特纲领不过使人们更自觉地贯彻这点而已．

形式化/精确化是数学演算推理论证得以进行的必要条件, 但这也是数学元素与
现实世界对象之间逐渐失去直观,直接对应的直正原因．

没有形式化抽象化精确化就没有数学推演，数学就沦为测量，于是数学与现实
的“脱节”势在必行，然而这种“脱节”实际上对数学的发展和数学应用都更
有利!  前者不必再说了，至于后者，由于与具体应用，解读的脱钩，尼罗河流
域的土地丈量和时装设计，航母的设制可以使用同一种几何；大气，高架车流
可以用同样的微分方程等等，事情明摆着，再多说就是啰嗦了．

虽然人们也许沒有充分意识到, 现代数学理论已经完全建立在集合论之上. 深入
的分折发现，这决不是出于数学家的偏好，而是一种必然。因为集合恰是概念
外延的形式! 这使得集合及其关系可以构建全部数学对象，而且由此得到的形
式系统都是数学系统。

现在知道，从数学基础或者数学哲学的观点看，数学系统就是以某些集合为基
本论域的形式系统.

例如概率论的对象是概率空间，而概率空间由称作随机事件的一些集合构成.

古典数论的对象是整数环，整数由自然数对的某种等价类构成，自然数由空集
和peano公理，无穷公理确立。

elim

数学无视"现实量"根深蒂固的测不准性，作为抽象的量及空间关系
的形式系统，提供了大量形如”如果A则B"的论断. 例如“如果直角
三角形的二直角边长为a及b，则其斜边c 是方程\(x^2=a^2+b^2\)的解”；
"若一圆的直径为D,则其周长为πD"等等.

列宁的的话："如果不把不间断的东西割断，不使活生生的东西简
单化、粗糙化，不加以割碎，不使之僵化，那么我们就不能想象、
表达、测量、描述运动." 虽然不专业，比较负面，但至少在实用
主义的水平上肯定了绝对准，不变的数学框架的必要性。说白了，
描述一个"现实量"的唯一途径就是借助一个不变的数学框架(例如
坐标系)，把变量之所以变的因素用数学方式表达出来，以便借助
数学工具对所考虑的'现实量'进行推算.

空间试验站的功用就是避开地上的某些限制，到一个较单纯，有
更有效手段的环境去了解事物的本质。从实用的角度说，数学就
是认识现实量关系的空间站。所有数学工具都是在绝对精确，固
定的假设下得到的。因为只有这种绝对性，推理才可以进行。已
知的数学定理才能应用。辩证法的精髓在这里表现得淋漓尽致：
超越现实才认识现实，描述运动必须借助"僵化"。变量在数学里
是作为确定的，其整体性质不变的函数来研究的，运动是通过一
系列不动的时刻状态来刻划的。离散是通过连续来认识的(母函数，
特征根，算子谱).

把数学框架“现实化”和主张者的畜生化是一回事。数学好容易才
摆脱了事物非数量本质的表象，以致于运用数学成为学科成熟的
标志，居然有人誓死要倒行逆施，走向吃屎！


数学的发展从来没有扼杀所建立起来的系统。微积分受到质疑，
挑战的结果不是其消亡，而是集合论，实数理论，极限论的建立。
集合论，超穷数论受到质疑，挑战，其结果是元数学，公理集合
论，数理逻辑的建立。欧氏几何被质疑了上千年，结果是产生非
欧几何而不是处决欧氏几何。无理数的发现，只有在超越现实，
超越测量的数学里才可能，这也不是以毕达哥拉斯的好恶，或者
某种不看好无理数的哲学"真理"所转移的。

无论是数学的应用还是数学本身，近似计算都是必不可少的。
但近似计算或者近似分析不是去构造"不绝对准"的数，而是指
出一个或一系列数与另一个数的差距在怎样的范围。所涉及的
数本身都是既存的，"绝对准"的数。把这里涉及的数算作计算
者构造出来的数，是不合实际的，主观唯心，畜生不如的认识。
另外，jzkyllcjl 在近似计算理论方面毫无建树。几个世纪前的
数学在计算方面丶就远远超过了jzkyllcjl. 祖冲之的圆周率算法
到现在还比jzkyllcjl 强。这也是他的书客观上被认为是废纸的
原因。

认识数学中的有限需要数学意义上的无限。这个辩证道理就不
再虫口赘述了。像青山那样彻底否定自然数的无穷性，主张有
最大自然数的人是很少的。其实这种主张跟否定物质世界的复
杂关系和无限发展运动等价。钢琴上的键很有限，可以弹奏的
曲子不可限量。物质世界的基本粒子有限，它们的组合关系，
互作用关系的可能性没有穷尽。需要并且应当关心的是具有无
穷性的数学对象是否确定。换言之，非既定性的无穷是不是数
学对象。例如，自然数全体作为一个集合是否不多不少包括了
全部自然数. 还是说它包括了有限多个自然数，但随着时间的
推移，包括的自然数越来越多. 或者更绝，认定自然数集在任
何时候都不是无穷集合，但包含数学所需要的每个自然数。经
过长期激烈的争论，数学家们倾向于接受这样的见解：主张无
穷集是既存的，无需扩充的整体的人可以继续其见解，建立其
数学；否定无穷集合的既存性，主张这种集合是不断扩张的有
限集的人可以建立不同于前者的数学，就好象主张平行公理的
人搞欧氏几何，否定平行公理的人搞非欧几何。所谓的实无穷，
潜无穷之争在本体论的层次是伪论题。通过以上的讨论, 包括
列宁的观点知道数学本来就不是"实体"的机械反映, 实潜无穷的
争议的确有点像"喜欢吃辣的和拒绝海鲜的"那样，不是你死我
活的矛盾.  像jzkyllcjl 这种誓死搞潜无穷的人被指为二百五，就
是这个道理。但是实无穷数学与潜无穷数学并不像欧氏几何与
非欧几何那样平分秋色：很显然潜无穷数学是实无穷数学的限
制，因而潜无穷数学的成果在实无穷数学都成立，反之就很惨，
潜无穷数学相对于实无穷数学可以说是空空如也。所以今天绝
大多数数学家并不关心潜无穷数学。而科学技术所仰赖的数学
大部分出自实无穷数学.

潜无穷论+二百五的流行口径是实无穷矛盾百出，悖论泛滥，
不可自拔. 事实上这是连中肯的潜无穷论者都不会同意的，暴露
言者无知和卑劣的胡言。青山的几个主题很有这种代表性。是
不懂数学，不懂实践的自以为是的爆料。认真指出悖论，消除
悖论，进行数学基础研究的绝大多数人都是实无穷论者。可以
这么说，如果今天还有真正挑战现行数学的悖论，不用青山，
不用jzkyllcjl, 实无穷论者早就会把事情弄成关注亮点的。应该
承认，现行数学并没有能证明自身基础的自洽和完备。但却证
明了不可能有这种证明。换句话说，即使是形式系统，人类的
认识也不会停留在一个水平上，人类理性没有绝对的完备性。

最后强调：数学的发展从来不是否定已有的数学成果，而是丰
富自身，把自身置于更坚实的基础上。这一点可能让潜无穷论
者中的二百五十分不爽。略表同情和遗憾。

elim

elim:
对于潜无穷论者＋二百五来说，所有经典的数论问题都是无意义的．

其畜生不如的理由是：自然数还没有完成，谈什么 x^n+y^n=z^n
对一切大于2自然数n 没有非平凡解？.......

jzkyllcjl:
数学的本质是描述现实数量大小、多少及其关系的科学。自然数与有理数都有许多计算公式与法则，这是需要背熟的，但在应用于生产实践时，如果不研究数系中的数 与现实数量大小的测量误差，那么就免不了失败。

elim: 数学不是科学, 正像哲学不是科学一样. 数学和哲学一样超越了科学, 指导实践. 哲学主要从质的方面, 数学主要从量的方面指导实践. 哲学常常误导实践, 数学则一般没有没有这种问题.

对现实数量大小, 也就是有量纲以及测不准性的大小一般不是数学的任务, 那是物理学, 工程学等等的任务. 数学恰恰相反, 其任务是研究扬弃了现实性的量和形, 乃至逻辑结构的学科. jzkyllcjl 没有任何现实量的认识, 被人踢来踢去, 就自以为是搞数学的料了, 遗憾他本质上不识数, 也不了解何谓数学.

数学作为一种学术活动，是对形式系统的研究，作为数学知识的沉淀，是有关形式系统的认识的汇集。根据"不以人的意志为转移的客观存在"这个物质的"定义"，数学系统的存在公理就是一个唯物主义的宣告。

应该指出，唯物唯心这些概念在现代，与事实求是相比是模糊的，非常肤浅的。量子物理使人类对物质和精神的认识有了质的飞跃，没有结构的"存在"是不存在，科学是对存在的结构加以研究而不是造物。人想造物就是想当上帝，造神运动的报应无非是身败名裂。

jzkyllcjl:
唯物主义要求行事逻辑的推导结果需要经过联系的实践验证；唯心主义否定这个认识，认为“作为数学知识的沉淀，是有关形式系统的认识的汇集。根据“不以人的意志为转移的客观存在”这个物质的“定义”，数学系统的存在公理就是一个唯物主义的宣告。”
例如，你汇集中的等式 1/3=0.333…… 就是违背实践验证的错误等式。因为 ：式中的无尽循环小数0.3333……是永远写不到底的事物，它不是定数，它永远不等于定数1/3；无论你写出多少个3，这个数0.33……3 总是小于1/3的，它不会等于1/3。

elim:
你拿有限小数 0.333...3 < 1/3 作为 0.333... 不等于 1/3 的验证, 使用了狗屎堆逻辑, 是狗屎毒载体, 根本就不识数，还验证个屁．

春风晚霞

言简意赅，发人深省。深度好文，受教颇多。下载收藏，谢谢楼主。

jzkyllcjl

0.5=5/10,通过约分等于1/2,  但无尽循环小数0.333……的分母是什么？ 能 通过约分化成 分数吗？

elim

jzkyllcjl 楼上的问题跟他能不能算Ysu2008 的小题其实是相当的．

elim

jzkyllcjl 在【elim 的数学观点 是错误的】主贴中说：

elim 说 哲学把数学 归结为 形式逻辑体系 的观点 是错误的，实际上，数学理论的本质是研究现实数量大小、多少及其关系的科学；形式逻辑 只是数学理论叙述中 一个推理的方法， 人们无法 为数学理论 建立一个 完备而又无矛盾的形式逻辑 体系；数学中的一切叙述都需要从实践出发，而且 需要接受实践检验，而且需要在继续实践研究中改进再改进。

我的回复是来一个实例分析： 看看下面这段东西里什么是"现实数量大小", 什么是"非现实数量大小"

哪部分是科学实验,测量? 哪部分不是形式推演?  jzkyllcjl 能看懂多少?

elim

请问楼上近两个世纪前的数学轻舟与 jzkyllcjl 啼猿声的山头差了几万重山?

jzkyllcjl

elim 发表于 2020-4-6 16:14
请问楼上近两个世纪前的数学轻舟与 jzkyllcjl 啼猿声的山头差了几万重山?

7楼 不是轻舟，事实上，那些函数的函数值永远无法绝对准算出。必须使用近似方法下的近似值。

elim

我发过很多帖子, 在基础数学板块上主要是解题, 在综合论坛上主要是谈数学思想. 这个论坛最近出故障, 可庆幸的是得到了修复! 谢谢管理员! 如果修复不了, 我真正惋惜的就是这个主题的丢失! 因为只有在这个主题里才有一些其它地方找不到的见解. 并且我认为是十分重要的.

希望各位网友参与讨论.