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求 [(√27+√23)^100] 除以 100 的余数

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发表于 2014-4-15 00:10 | 显示全部楼层 |阅读模式
这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子,
欢迎大家一起来想想如何解答:

[(√27+√23)^100] 除以 100的餘數
[  ] : 高斯函數

ans: 47

发表于 2014-4-15 12:23 | 显示全部楼层

求 [(√27+√23)^100] 除以 100 的余数

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 楼主| 发表于 2014-4-15 12:28 | 显示全部楼层

求 [(√27+√23)^100] 除以 100 的余数

原题是求 [(√27+√23)^100] 除以 100 的余数,
楼上是求 [(√27+√23)]^100 除以 100 的余数,两者不一样。
发表于 2014-4-15 13:36 | 显示全部楼层

求 [(√27+√23)^100] 除以 100 的余数

[(√27+√23)^100]=[(√27+√23)^(2*50)]幂的模等于模的幂,半天算不出。
 楼主| 发表于 2014-4-15 17:21 | 显示全部楼层

求 [(√27+√23)^100] 除以 100 的余数

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/04/15 08:21pm 第 1 次编辑]

我发现:
当 n=4k+2(k=1,2,3,…)时,[(√27+√23)^n] 除以 100 的余数总是等于 99 。
设 x=√27+√23 ,则有 x^(n+2) = 100x^n - 16x^(n-2) 。
不知道对解题有没有帮助。
 楼主| 发表于 2014-4-15 20:50 | 显示全部楼层

求 [(√27+√23)^100] 除以 100 的余数

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/04/16 09:38pm 第 2 次编辑]

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发表于 2014-4-16 00:23 | 显示全部楼层

求 [(√27+√23)^100] 除以 100 的余数

陆老师楼上的解答很好:
(√27+√23)^100 = 922938492343857077862786605617907646336073714035256391666122966573139203943
8783380309934696193589247.999999999999999999999999999999999999999825888934355953
04513720681880856986568031501491897557274566132298624847308879234295758111948066
01999960704315726960787207657676954065373127139404781255788941898047787781161772
84257801703904307692733898248312560286180772304437927574249750272710640599904730
.....
发表于 2014-4-16 01:52 | 显示全部楼层

求 [(√27+√23)^100] 除以 100 的余数

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发表于 2014-4-16 07:26 | 显示全部楼层

求 [(√27+√23)^100] 除以 100 的余数

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 楼主| 发表于 2014-4-16 08:38 | 显示全部楼层

求 [(√27+√23)^100] 除以 100 的余数

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/04/16 08:38am 第 1 次编辑]

楼上 elim 的解答很好!这才是原题最标准的解法。
我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

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