可否如下证明0.999……＝1

春风晚霞

从jzkyllcjl 先生“0.999…… 也是无穷数列0.9，0.99，0.999，……的康托尔基本数列的简写，它是无穷数列性质的变数，它的极限是1， 这个数列无限接近于1，不存在c使不等式0.999……<c<1成立，但 这个数列的极限才等于1， 但这个数列永远不等于1. 这个数列不是定数，这个数列中的每一个数都小于1，例如：0.999…9（一万个9） 就小于1 。所有无尽小数都是永远写不到底的事物都不是定数，都是理想实数的针对误差界序列{1/10^n}以十进小数为项不足近似值的康托儿基本数列的简写”看： jzkyllcjl 先生还是承认 康托尔实数理论的。不知先生是否知道在康托尔实数理论中是“不容许以9为循环节的小数表示实数”的（参见吉林师范大学数学系《数学分析讲义》上册P129），像0.999……；3.999……这类以9为循环节的纯循环小数或混循环小数是直接定义成1或4的（即1＝0.999……，4＝3.999……）。在康托尔实数理论中每一个数（当然包括无限循环小数和无限不循环小数）都是取值唯一的客观存在。尽管数的表现形式多样（如1＝0.999……；√2＝1.4142……）但数的本身是唯一的。jzkyllcjl 先生的“不定数”理论与康托尔实数理论是不兼容的（“不定数”理论是否正确，先生自酌）。在康托尔实数理论中“不存在c使不等式0.999……<c<1成立” ，那么0.999……就一定等于1，这是康托尔实数连续性的基本表现。当然在我们知道0.999……的极限是1的情况下，用极限的“ε－N”语言仍可证明无限循环小数0.999……＝1的。
虽然我不认同jzkyllcjl 先生的“不定数”理论，但我仍然感谢jzkyllcjl 先生回帖。

elim

jzkyllcjl 混淆了数列与数．畜生不如．

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2019-5-29 02:38
从jzkyllcjl 先生“0.999…… 也是无穷数列0.9，0.99，0.999，……的康托尔基本数列的简写，它是无穷数列性 ...

你4楼的我看了。我使用了康托尔实数理论中康托尔 基本数列的定义，但我不同意 康托尔的实数定义。他“把彼此等价的基本数列归为一类，每一类称为一个实数，记号【an】 表示与{an} 等价的基本数列类构成的实数是 α，{an} 叫做α 的一个代表。”的说法不恰当，因为：他把数列性质的变数当作定数了，把等价看作相等了。为此，笔者再提出如下的实数公理。
（实数公理）：每一个理想实数都存在着以它为极限的康托尔的以有理数为项的基本数列；除0以外的每一个理想实数都存在唯一的以它为极限的无尽小数（参看下文实例：与现行无尽小数概念不同，笔者称；无尽小数都是根据理想实数算出的针对误差界序列 以十进小数为项不足近似值的康托儿基本数列的简写）表达式，这些基本数列（包括无尽小数）收敛于这个理想实数。反之，每一个康托尔基本数列（或称以有理数为项的柯西基本数列）都存在一个唯一的理想实数（简称为实数）为其极限，而且等价(也称全能近似相等)的康托儿基本数列的极限相同。

elim

jzkyllcjl 根本不懂等价类．

Ysu2008

简洁明了。

awei

0.9999……如果是1，那么它就是有理数，哪两个整数之比是0.9999……，1/1=1，我认为不是0.99999。哥德尔不完全性定理，已经说明了很多道理，玩推磨子的的游戏有意思么

jzkyllcjl

awei 发表于 2019-5-30 14:40
0.9999……如果是1，那么它就是有理数，哪两个整数之比是0.9999……，1/1=1，我认为不是0.99999。哥德尔不 ...

0.9999……被人们说它是无尽循环小数。 根据无尽是无有穷尽的语文意义，所有 无尽小数都是永远写不到底的事物，它们都不是定数。如果研究它的实用价值，就必须把0.9999……看作是1的针对误差界序列{1/10^n}以十进小数为项的不足近似值无穷数列0.9，0.99，0.999，…… 的简写 。

awei

jzkyllcjl 发表于 2019-5-31 03:27
0.9999……被人们说它是无尽循环小数。 根据无尽是无有穷尽的语文意义，所有 无尽小数都是永远写不到底的 ...

在标准分析里0.999……是可以等于1的，在非标准分析里，0.999……是不等于1的，
这样的讨论我觉得没什么意义，因为能找一大堆

春风晚霞

关于“可否如下证明0.999……＝1”这个话题，jzkyllcjl 先生认为“不存在c使不等式0.999……<c<1成立，但这个数列的极限才等于1， 但这个数列永远不等于1. ”当春风晚霞回贴告知“在康托尔实数理论中不存在c使不等式0.999……<c<1成立 ，那么0.999……就一定等于1，这是康托尔实数连续性的基本表现”后，jzkyllcjl 先生作出了 “我使用了康托尔实数理论中康托尔基本数列的定义，但我不同意康托尔的实数定义”的回应。其实对“不存在c使不等式0.999……<c<1成立 ，那么0.999……就一定等于1”一语，亦可如下理解“若0.999……<1,则至少存在 c=(0.999……+1)/2使不等式0.999……<c<1成立,所以当且仅当0.999……＝1时，才不存在c使不等式0.999……<c<1成立。故此0.999……＝1。”这样也避开了实数连续性的应用，从而整个证明过程都只用了小学生都熟知的逐位比较法，使证明成为初中生（反证法最初出现在初中）都懂的、真正的初等证明。
jzkyllcjl 先生从对0.999……的直观感觉出发认为：“0.9999……被人们说它是无尽循环小数。 根据无尽是无有穷尽的语文意义，所有无尽小数都是永远写不到底的事物，它们都不是定数。如果研究它的实用价值，就必须把0.9999……看作是1的针对误差界序列{1/10^n}以十进小数为项的不足近似值无穷数列0.9，0.99，0.999，…… 的简写 。”换句话讲也就是要研究0.999……的实用价值，就必须认可0.9999……<1。
jzkyllcjl 先生的所有贴文中都强调“0.999……不是定数。”那么什么是定数呢？jzkyllcjl 先生在回答网友的所有贴子中都只字未提。我们是否可能这样理解：jzkyllcjl先生理论中的定数也就是在我们考察或研究的过程中不发生变化的数。如果可以这样认为的话，jzkyllcjl先生把0.999……；√2……划归不定数那就更值得商榷了。因为0.999……和√2……在任何时候都是0.999……和√2……，变化的只是把 “0.9999……看作是1的针对误差界序列{1/10^n}以十进小数为项的不足近似值无穷数列0.9，0.99，0.999，……”和把√2看作是不足近似值无穷数列1，1.4，1.41，1.414……
由于现行的实数理论不利于zkyllcjl 先生对0.999……<1的证明：所以jzkyllcjl 先生决定改造现有的实数理论：其改造的路线如下：①从证明0.999……<1的需要出发，根据0.999……的不足近似值序列提出“不定数”的创新概念→②改造康托尔实数的定义，把0.9999……不足近似值无穷数列0.9，0.99，0.999，……作为康托尔基本序列→③为保证0.9，0.99，0.999，……这一康托尔基本序列的唯一性，纠正康托尔“把彼此等价的基本数列归为一类，每一类称为一个实数，记号【an】 表示与{an} 等价的基本数列类构成的实数是 α，{an} 叫做α 的一个代表”的不当说法→④为保证在证明0.999……<1过程中的各步均有理论依据量身定制“jzkyllcjl氏实数公理”，并在此基础上创建“jzkyllcjl氏实数理论”体系（见zkyllcjl 先生6楼贴文）→⑤在“jzkyllcjl氏实数理论”体系中证明0.999……<1。
由于受直观感觉的影响，关于0.999……<1的相关证明多有同义反复的思维倾向（也就是因为0.999……<1,所以0.999……<1思维形式）。至于zkyllcjl 先生有无这种同义反复的思维倾向，我们还是留待zkyllcjl 先生自悟吧。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2019-5-31 08:58
关于“可否如下证明0.999……＝1”这个话题，jzkyllcjl 先生认为“不存在c使不等式0.999……

你把我的说法理解错了。我没有说0.999……<1，我说的是无穷数列0.9，0.99，0.999，……中的每一个定数都小于1，而0.999……不是定数，它是个无穷数列性质的 变数，这个变数可以无限接近于1。所以不存在不存在c使不等式0.999……<c<1成立。变数不能作为定数理解。等式 0.999……＝1不成立。