已知 AB=AC ，D,E 分别在 AB,BC 延长线上，DB/DC=CE/AE=1/2 ，求证：ΔBDC～ΔACE

uk702

王守恩 发表于 2019-9-21 11:11
再往前走一走，在 DC 上找一点 F，使 FD = 3FC，如何证明：∠AFE = 90°？

没有任何技巧，就是硬算。

\( 假设 BC=2x，\ AB=AC=2，\ BD=a， \)
\( 则由于ΔBDC～ΔEAC， \)
\( ∴CE：AC=BD：BC \)
\( ∴CE = a/x \)
\( \)
\( 现以 BC 的中点为原点建立坐标系 \)
\( A: (0, \sqrt{4-x^2}) \)
\( B: (-x, 0) \)
\( C: (x, 0) \)
\( D: (-x -\frac{ax}{2}, \frac{-a\sqrt{4-x^2}}{2}) \)
\( E: (x+\frac{a}{x}, 0) \)
\( \)
\( 由于 \)
\( CH = OC+OH=x+x+\frac{ax}{2}=2x+\frac{ax}{2} \)
\( CG=\frac{CH}{4}=\frac{4x+ax}{8}, \ OG=\frac{4x-ax}{8} \)
\( GF=\frac{DH}{4}=\frac{a\sqrt{4-x^2}}{8} \)
\( \)
\( \)
\( 因此， \)
\( F 点的坐标为 (\frac{4x-ax}{8}, \frac{-a\sqrt{4-x^2}}{8})  \)
\( \)
\( \)
\( AF 的斜率为\  k_1=\frac{(8+a)\sqrt{4-x^2}}{ax-4x} \)
\( EF 的斜率为\  k_2=\frac{ax\sqrt{4-x^2}}{8x^2+8a+ax^2-4x^2} = \frac{ax\sqrt{4-x^2}}{8a+ax^2+4x^2}\)
\( \)
\( 又 CD = 2a \implies \frac{a^2(4-x^2)}{4}+\frac{((4+a)x)^2}{4}=4a^2 \)
\( \implies a^2(4-x^2)+(4+a)^2x^2=16a^2 \)
\( \implies 4a^2-a^2x^2+(4+a)^2x^2=16a^2 \)
\( \implies ((4+a)^2-a^2)x^2=12a^2 \)
\( \implies x^2 = \frac{12a^2}{8a+16} = \frac{3a^2}{2a+4} \)
\( \)
\( 于是 \)
\( k_1 \times k_2 = \frac{a(8+a)(4-x^2)}{(a-4)(8a+ax^2+4x^2)} \)
\( 将\ x^2=\frac{3a^2}{2a+4} 代入，化简得\ k_1 \times k_2 = -1 \)
\( 于是有\  AF ⊥ FE \)

天山草

以下是 creasson 先生用向量法证明楼主在 1# 楼的原题。

天山草

下面是本人用直角坐标法证明相似。

denglongshan

王守恩 发表于 2021-10-20 12:22
管它黑猫白猫，能抓住耗子就是好猫，能抓住耗子就可以上台面。

\(等腰三角形ABC两边AB=AC，D和E在AB和 ...

不需要DB/DC=CE/AE=1/2，可以证明相似，但是你发现的垂直结论就需要了。

王守恩

uk702 发表于 2021-10-20 17:54
没有任何技巧，就是硬算。

\( 假设 BC=2x，\ AB=AC=2，\ BD=a， \)

还是这不用烧脑细胞的。
\(记∠ABC=a\ \ ∠AEC=b\ \ 则\ AO=\sin(a)\ \ BO=\cos(a)\ \ CA=1\)
\(AE=\frac{\sin(a)}{\sin(b)}\ \ \ CE=\frac{\sin(a)}{2\sin(b)}=\frac{\sin(a-b)}{\sin(b)}\Rightarrow\sin(a)=2\sin(a-b)\ \ (1)\)
\(CB=2\cos(a)\ \ \ CD=\frac{2\cos(a)\sin(a)}{\sin(b)}=\frac{\sin(2a)}{\sin(b)}\ \ \ CF=\frac{\sin(2a)}{4\sin(b)}\)
\((FA)^2=(CF)^2+(CA)^2-2(CF)(CA)\cos(2a-b)\)
\((FE)^2=(CF)^2+(CE)^2+2(CF)(CE)\cos(a-b)\)
\(\frac{(AE)^2}{(FA)^2+(FE)^2}=k\ \ \ (2)\ \ \ 由(1),(2)可得\ k=1\)
\(在这里，a不是未知数，a是任意数。\)

uk702

王守恩 发表于 2021-10-22 19:56
还是这不用烧脑细胞的。
\(记∠ABC=a\ \ ∠AEC=b\ \ 则\ AO=\sin(a)\ \ BO=\cos(a)\ \ CA=1\)
\(AE=\fr ...

恕鲁笨实在不知如何“可得”，那怕用 Mathematica 将全部展开，也没看出如何“可得”。

王守恩

uk702 发表于 2021-10-22 21:05
恕鲁笨实在不知如何“可得”，那怕用 Mathematica 将全部展开，也没看出如何“可得”。

试试 a 是任意数。在电脑如此丰富的年代：理解的要执行，不理解的也要执行。

\(由(1)\tan(a)=\frac{2\sin(b)}{2\cos(b)-1}代入(2)\ 可得\ k=1\)

kanyikan

王守恩

uk702 发表于 2021-10-22 21:05
恕鲁笨实在不知如何“可得”，那怕用 Mathematica 将全部展开，也没看出如何“可得”。

有电脑罩着不会出错：理解的要执行，不理解的也要执行。

\(由(1):\tan(a)=\frac{2\sin(b)}{2\cos(b)-1}\Rightarrow \cos(a)=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2(a)}}\ \ \sin(a)=\frac{\tan(a)}{\sqrt{1+\tan^2(a)}}\)
\(进入(2)\ 化简可得\ k=1\)   我用的是Simplify，好像TrigExpand不行？
手工有点复杂，这过程比《任意四边形的一个面积公式，如何证明？》还难。

FGNBGHJUOI

好题，收藏了