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发表于 2021-10-24 22:02
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本帖最后由 denglongshan 于 2021-10-25 22:23 编辑
\(因为DC/DB=EA/EC,设\frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{DC}}=u{,}\frac{\overrightarrow{EA}}{\overrightarrow{EC}}=uv{,}\mid v\mid=1,得,\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}=\frac{\left( u-1\right)\overrightarrow{DB}}{u}{,}
\)\(\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{EC}}=\frac{uv-1}{uv},\)
\(因为\overrightarrow{DB}到\overrightarrow{BC}的有向角与\overrightarrow{AE}到\overrightarrow{CE}有向角相等,所以\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{DB}}/\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{EC}}为一实数,即\frac{uv-1}{v(u-1)}=实数,\)\(取共轭得到\frac{uv-1}{v(u-1)}=\frac{\overline{u}\overline{v}-1}{\overline{v}(\overline{u}-1)},\)
解方程得\(v=1,v=-\frac{\overline{u}-1}{u-1}\)
显然,v=1时,结论成立。由
\(v=-\frac{\overline{u}-1}{u-1}=-\frac{\overline{(\frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{DC}}})-1}{\frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{DC}}-1}=- \frac{\overline( {\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{DC}}})}{\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{DC}}}\)
\[标记有向角如图,上式等价于\frac{\overrightarrow{EA}}{\overrightarrow{EC}}=uv=ue^{i\left( -\pi+2x+y\right)},即图中的E'点是以AC为轴,翻折EA与BC的交点\] |
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