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发表于 2023-1-15 20:28
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网页A347773给出丢番图方程b^k=a1^k+a2^k+…+an^k的最小正整数解中的底数b;
n\k | 1 2 3 4 5 6 7 8
----+----------------------------------------
1 | 1 2 3 4 5 6 7 8
2 | 1 5 3 2 4 3 4 4
3 | 1 0 6 7 4 3 5 2
4 | 1 0 422481 353 5 3 9 13
5 | 1 0 ? 144 72 12 23 14
6 | 1 0 ? ? ? ? 1141 251
7 | 1 0 ? ? ? ? 568 102
8 | 1 0 ? ? ? ? ? 1409
横着看
当k=1时,b=a1+a2+…+an之b最小数是1,2,3,3,4,5,6,7,8,……;见表中第2行的各个数字;
当k=2时,b^2=a1^2+a2^2+…+an^2之b最小数是1,5,3,2,4,3,4,4……;见表中第3行的各个数字;
5——5^2=4^2+3^2;3——3^2=2^2+2^2+1^2;2——2^2=1^2+1^2+1^2+1^2;4——4^2=3^2+2^2+1^2+1^1+1^2;……
当k=3时,b^3=a1^3+a2^3+…+an^3之b最小数是1,0,6,7,4,3,5,2……;见表中第4行的各个数字;
其中的1表示b^3=a1^3,最小底数b=1;0表示不存在b^3=a1^3+a2^2之b;6表示6^3=3^3+4^3+5^3;……
竖着看
当n=1时,b^k=a1^k之最小底数b都是1,见表中第2列;
当n=2时,只有b^1和b^2有解,其中2表示2^1=1^1+1^1;5表示5^2=4^2+3^2;以下的各个0表示当指数k≥3时不存在b^k=a1^k+a2^k;见表中第3列;
当n=3时,见表中第4列数字3,3,6,422481,?,?,……
第1个3——3=1+1+1;第2个3——3^2=2^2+2^2+1^2;6——6^3=3^3+4^3+5^3;422481——422481^4=95800^4+217519^4+414560^4;……
各个问号“?”表示存在b^k=a1^k+a2^k+…+an^k这样的数字解,但没有找到这样的数值,连最小的也未曾找到。
第5列中的353表示最小的一组编号为4.1.4的丢番图方程是353^4=30^4+120^4+272^4+315^4;
第5列中的144表示最小的一组编号为5.1.4的丢番图方程是144^5=27^5+84^5+110^5+133^5;
第6列中的72表示最小的一组编号为5.1.5的丢番图方程是72^5=19^5+43^5+46^5+47^5+67^5。
以上为yangchuanju所发,谢谢分享。
见倒数第4行红色字,我以前也是这样认为的,但,今天,我看:未必!!!!
例 一个k次幂表为四个k次幂之和,
即 s^k=a1^k+a2^k+a3^k+a4^k,仅有 有限个k,即 k有 较小的最大值,
此例 k >100 时,均为无解。甚至可能 k >20 时,均为无解。
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