x^(n)+y^(n+1)+z^(n+2)=w^(n+3)

Treenewbee

王守恩 发表于 2023-3-10 16:23
谢谢Treenewbee！解题高手！

直角(直角边是整数)等腰三角形，在3条边(直角边在整数位置)上取3个点，
...

1. Table[n (n - 1) (4 n - 3)/2, {n, 1, 30}]

复制代码

{0,5,27,78,170,315,525,812,1188,1665,2255,2970,3822,4823,5985,7320,8840,10557,12483,14630,17010,19635,22517,25668,29100,32825,36855,41202,45878,50895}

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-3-10 21:04
{0,5,27,78,170,315,525,812,1188,1665,2255,2970,3822,4823,5985,7320,8840,10557,12483,14630,1701 ...

简单一点：

0,5,27,78,170,315,525,812,1188,1665,2255,2970,3822,....

如何在下面的算式里把上面的数字串拉出来(对不上也没有关系)。

Table[Solve[{s1 == x*y/2, s2 == z (2 n - x)/2,
s3 == (2 n - y) (2 n - z)/2, s4 == (2 n) (2 n)/2 - s1 - s2 - s3},
{s1, s2, s3, s4}, Integers], {n, 2, 2}, {x, 1, 2 n - 1}, {y, x, 2 n - 1}, {z, 1, 2 n - 1}]

憋了好几天，还是找不着方法。谢谢Treenewbee！

Treenewbee

王守恩 发表于 2023-3-11 18:57
简单一点：

0,5,27,78,170,315,525,812,1188,1665,2255,2970,3822,....

1. f[n_] := Table[
   
2.   Solve[{s1 == x*y/2, s2 == z (2 n - x)/2,
   
3.     s3 == (2 n - y) (2 n - z)/2,
   
4.     s4 == (2 n) (2 n)/2 - s1 - s2 - s3}, {s1, s2, s3, s4},
   
5.    Integers], {x, 1, 2 n - 1}, {y, x, 2 n - 1}, {z, 1, 2 n - 1}]

复制代码

注意到s2,s3取半时前半部分本就是整数，既然取整数解，可以忽略掉，如：

1. f[n_] := Table[
   
2.   Solve[{s1 == x*y/2, s2 == x*z/2, s3 == y*z/2,
   
3.     s4 == (2 n) (2 n)/2 - s1 - s2 - s3}, {s1, s2, s3, s4},
   
4.    Integers], {x, 1, 2 n - 1}, {y, x, 2 n - 1}, {z, 1, 2 n - 1}]

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继续查看代码，s1,s2,s3为整数时，s4显然也是整数，可以去掉：

1. f[n_] := Table[
   
2.   Solve[{s1 == x*y/2, s2 == x*z/2, s3 == y*z/2}, {s1, s2, s3},
   
3.    Integers], {x, 1, 2 n - 1}, {y, x, 2 n - 1}, {z, 1, 2 n - 1}]

复制代码

Treenewbee

1. f[n_] := Table[
   
2.   Solve[{s1 == x*y/2, s2 == x*z/2, s3 == y*z/2}, {s1, s2, s3},
   
3.    Integers], {x, 1, 2 n - 1}, {y, x, 2 n - 1}, {z, 1, 2 n - 1}]
   
4. f[2]

复制代码

{{{{},{},{}},{{},{{s1->1,s2->1,s3->2}},{}},{{},{},{}}},{{{{s1->2,s2->1,s3->1}},{{s1->2,s2->2,s3->2}},{{s1->2,s2->3,s3->3}}},{{},{{s1->3,s2->2,s3->3}},{}}},{{{},{},{}}}}

需要过滤掉空集再进行计数

Treenewbee

压平：

1. f[n_] := Flatten@
   
2.   Table[Solve[{s1 == x*y/2, s2 == x*z/2, s3 == y*z/2}, {s1, s2, s3},
   
3.     Integers], {x, 1, 2 n - 1}, {y, x, 2 n - 1}, {z, 1, 2 n - 1}]

复制代码

返回如下：
{s1 -> 1, s2 -> 1, s3 -> 2, s1 -> 2, s2 -> 1, s3 -> 1, s1 -> 2,
s2 -> 2, s3 -> 2, s1 -> 2, s2 -> 3, s3 -> 3, s1 -> 3, s2 -> 2,
s3 -> 3}

Treenewbee

1. f[n_] := Length@
   
2.    Flatten@Table[
   
3.      Solve[{s1 == x*y/2, s2 == x*z/2, s3 == y*z/2}, {s1, s2, s3},
   
4.       Integers], {x, 1, 2 n - 1}, {y, x, 2 n - 1}, {z, 1, 2 n - 1}]/3

复制代码

即所得。

Treenewbee

1. Table[Length@
   
2.    Flatten@Table[
   
3.      Solve[{s1 == x*y/2, s2 == x*z/2, s3 == y*z/2}, {s1, s2, s3},
   
4.       Integers], {x, 1, 2 n - 1}, {y, x, 2 n - 1}, {z, 1, 2 n - 1}]/
   
5.   3, {n, 5}]
   

复制代码

{0, 5, 27, 78, 170}

当然，这样求解会活活急死

Treenewbee

67楼的代码相当于求  \[x,y,z \in \{1,2n-1\}\]中，\[xy,yz,zx\]均为偶数的组合个数

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-3-11 19:38
{0, 5, 27, 78, 170}
当然，这样求解会活活急死

我不会就是这个："需要过滤掉空集再进行计数",希望最后出来是个数字串(对不上也没有关系)，

我只会解简单的方程，学习学习为下面的题目作个铺垫。

因为题目还要改(OEIS可能是没有的)：

直角(直角边是整数)三角形，在3条边(直角边在整数位置)上取3个点，

可以把直角三角形分成了4个小三角形，要求4个三角形面积都是整数。

当较长直角边(相等也可以)=n时，有a(n)种分法。n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,...

再进一步：直角(斜边是整数)三角形，......
进一步：任意(最长边是整数)三角形，......

谢谢Treenewbee！

Treenewbee

王守恩 发表于 2023-3-11 20:12
我不会就是这个："需要过滤掉空集再进行计数",希望最后出来是个数字串(对不上也没有关系)，

我只会解 ...

再进一步：直角(斜边是整数)三角形，......
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高有多个，三角形不唯一，解的个数不定