x^(n)+y^(n+1)+z^(n+2)=w^(n+3)

Treenewbee

直径为n的半圆，直角所在的顶点有多个，可以取遍 1-n/2 之间的所有实数。比如n=16，显然高为1/8,1/4,1/2,1,2,3,...7,8时，三角形面积均为整数

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-3-11 19:38
{0, 5, 27, 78, 170}

当然，这样求解会活活急死

当然，这样求解会活活急死，譬如：

Table[FindInstance[{n==(a^2+b)/(a+b^2),100>b>0,a>0},{b,a},Integers,1],{n,1,20}]

这是一道棘手的题目。

\(1，对任意正整数n,不知道n=\frac{a^2+b}{a+b^2}是否有解。\)

\(2，对任意正整数n，不知道n=\frac{a^2+b}{a+b^2}有多少个解。\)

(1),Table[FindInstance[{n==(a^2+b)/(a+b^2),100>b>0,a>0},{b,a},Integers,1],{n,1,20}]

(2),Table[Solve[{n==(a^2+b)/(a+b^2),100>b>0,a>0},{b,a},Integers]//First,{n,1,20}]

我只想要第1个解(b是最小的),(2)好像比(1)好一些，还有更好的吗？

又：我只想知道是否有解(最大=b)，下面算式中的a要如何界定(我一直不得要领)？

Select[Union@Flatten@Table[(a^2+b)/(a+b^2),{b,1,100},{a,1,120*4}],IntegerQ[#]&]

Treenewbee

A290332,A290333

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-3-13 15:22
A290332,A290333

A290332有个公式，A290333没有公式，A290333可以用A290332的公式吗(好像不行)?

王守恩

王守恩 发表于 2023-3-10 16:23
谢谢Treenewbee！解题高手！

直角(直角边是整数)等腰三角形，在3条边(直角边在整数位置)上取3个点，
...

谢谢Treenewbee！60楼的解法漏了一些解。从头来过。

直角(直角边是整数)等腰三角形，在3条边(直角边在整数位置)上取3个点，

可以把直角等腰三角形分成了4个小三角形，要求4个三角形面积都是整数。

当直角边=2n时，有a(n)种分法(不允许翻转)。n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,....

参考《数学中国论坛-数学期刊-几何教授的几何趣题》

Table[Table[Solve[{s1 == x*y/2, s2 == (2 n - x)*z/2,
    s3 == (2 n - y)*(2 n - z)/2, s4 == (2 n) (2 n)/2 - s1 - s2 - s3},
{s1, s2, s3, s4}, Integers], {z, 1, 2 n - 1}, {y, 1, 2 n - 1}, {x, 1, 2 n - 1}], {n, 2, 2}]

{{s1 -> 2, s2 -> 1, s3 -> 3, s4 -> 2}},
{{s1 -> 1, s2 -> 2, s3 -> 3, s4 -> 2}},
{{s1 -> 1, s2 -> 3, s3 -> 2, s4 -> 2}},
{{s1 -> 2, s2 -> 2, s3 -> 2, s4 -> 2}},
{{s1 -> 3, s2 -> 1, s3 -> 2, s4 -> 2}},
{{s1 -> 3, s2 -> 2, s3 -> 1, s4 -> 2}},
{{s1 -> 2, s2 -> 3, s3 -> 1, s4 -> 2}},

a(1)=0
a(2)=7
a(3)=44
a(4)=135

得到这样一串数：0, 7, 44, 135, ......

渴望67楼的公式能再来一次。谢谢Treenewbee！

Treenewbee

王守恩 发表于 2023-3-13 16:26
谢谢Treenewbee！60楼的解法漏了一些解。从头来过。

直角(直角边是整数)等腰三角形，在3条边(直角边 ...

1. Table[Length@
   
2.    Flatten@Table[
   
3.      Solve[{s1 == x*y/2, s2 == x*z/2, s3 == y*z/2}, {s1, s2, s3},
   
4.       Integers], {x, 1, 2 n - 1}, {y, 1, 2 n - 1}, {z, 1, 2 n - 1}]/
   
5.   3, {n, 7}]

复制代码

{0, 7, 44, 135, 304, 575, 972}

Treenewbee

相当于2n-1个数里取三个偶数或两偶一奇，\[a(n)=(n-1)^3+3n(n-1)^2=(n-1)^2(4n-1)\]

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-3-13 21:24
{0, 7, 44, 135, 304, 575, 972}

谢谢Treenewbee！解题高手！

直角(直角边是整数)三角形，在3条边(直角边在整数位置)上取3个点，

可以把直角三角形分成了4个小三角形，要求4个三角形面积都是正整数。

当较长直角边(相等也可以)=n时，有a(n)种分法(不允许翻转)。n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,....

参考《数学中国论坛-数学期刊-几何教授的几何趣题》

Table[Table[Solve[{s1 == x*y/2, s2 == (n - x)*z/2, s3 == (k - y)*(n - z)/2,
s4 == (n) (k)/2 - s1 - s2 - s3, s1 > 0, s2 > 0, s3 > 0, s4 > 0},
{s1, s2, s3, s4}, Integers], {z, 1, n - 1}, {y, 1, n - 1}, {x, 1, n - 1}], {n, 4, 4}, {k, 1, n}]

{{s1 -> 1, s2 -> 1, s3 -> 3, s4 -> 1}},
{{s1 -> 1, s2 -> 2, s3 -> 2, s4 -> 1}},
{{s1 -> 1, s2 -> 3, s3 -> 1, s4 -> 1}},
{{s1 -> 2, s2 -> 2, s3 -> 1, s4 -> 1}},
{{s1 -> 3, s2 -> 1, s3 -> 1, s4 -> 1}},
{{s1 -> 1, s2 -> 3, s3 -> 1, s4 -> 1}},
{{s1 -> 2, s2 -> 1, s3 -> 3, s4 -> 2}},
{{s1 -> 1, s2 -> 2, s3 -> 3, s4 -> 2}},  
{{s1 -> 1, s2 -> 3, s3 -> 2, s4 -> 2}},
{{s1 -> 2, s2 -> 2, s3 -> 2, s4 -> 2}},
{{s1 -> 3, s2 -> 1, s3 -> 2, s4 -> 2}},
{{s1 -> 3, s2 -> 2, s3 -> 1, s4 -> 2}},
{{s1 -> 2, s2 -> 3, s3 -> 1, s4 -> 2}},

a(1)=0
a(2)=0
a(3)=0
a(4)=13
a(5)=11
a(6)=115
a(7)=69

渴望76楼的公式能再来一次。谢谢Treenewbee！

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-3-13 21:24
{0, 7, 44, 135, 304, 575, 972}

谢谢Treenewbee！解题高手！

直角(直角边是整数)三角形，在3条边(直角边在整数位置)上取3个点，

可以把直角三角形分成了4个小三角形，要求4个三角形面积都是正整数。

当较长直角边(不可以相等)=n时，有a(n)种分法(不允许翻转)。n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,....

参考《数学中国论坛-数学期刊-几何教授的几何趣题》

Table[Length@Flatten@Table[Solve[{s1 == x*y/2, s2 == (n - x) (n - z) k/(2 n),
s3 == z (k - y)/2, s4 == n*k/2 - s1 - s2 - s3, s1 > 0, s2 > 0, s3 > 0, s4 > 0},
{s1, s2, s3, s4}, Integers], {z, 1, n - 1}, {y, 1, k - 1}, {x, 1, n - 1}]/4, {n, 1, 19}, {k, 1, n - 1}]

{{}, {0}, {0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 14, 9, 4}, {0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 5, 2, 35, 4, 25, 6},
{0, 1, 0, 6, 0, 77, 0, 16}, {0, 0, 4, 17, 104, 16, 12, 51, 16}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{0, 9, 44, 55, 24, 173, 36, 207, 176, 113, 60}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0},
{0, 0, 6, 25, 12, 24, 342, 75, 24, 48, 30, 125, 36},
{0, 4, 0, 24, 0, 143, 0, 64, 0, 504, 0, 338, 0, 124},
{0, 17, 10, 115, 20, 85, 30, 487, 40, 153, 50, 443, 60, 221, 70},
{0, 0, 0,  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{0, 4, 92, 57, 40, 284, 60, 163, 800, 132, 100, 893, 120, 196, 644, 375, 160},
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}}

如何把这些数合并成19个数？谢谢Treenewbee！

Treenewbee

王守恩 发表于 2023-3-17 11:27
谢谢Treenewbee！解题高手！

直角(直角边是整数)三角形，在3条边(直角边在整数位置)上取3个点，

1. Table[Length@
   
2.   Select[Table[
   
3.     Length@Flatten@
   
4.        Table[Solve[{s1 == x*y/2, s2 == (n - x) (n - z) k/(2 n),
   
5.           s3 == z (k - y)/2, s4 == n*k/2 - s1 - s2 - s3}, {s1, s2, s3,
   
6.            s4}, PositiveIntegers], {z, 1, n - 1}, {y, 1, k - 1}, {x,
   
7.          1, n - 1}]/4, {k, 1, n - 1}], # > 0 &], {n, 10}]

复制代码

{0, 0, 0, 1, 0, 3, 0, 6, 4, 7}