计算 lim ((1^n+2^n+...+n^n)/(n^n))

elim

elim

王守恩 发表于 2017-9-11 19:11
我们有
lim  [1^0+2^0+3^0+4^0+5^0+......+n^0]÷[n^1÷1^2]=1
lim  [1^1+2^1+3^1+4^1+5^1+......+n^1] ...

elim

王守恩 发表于 2017-9-11 21:56
用这样的方法来表示1,2,3,4,5,6,......，不是很好吗？
lim  [1^0+2^0+3^0+4^0+5^0+......+n^0]÷[n^1÷1^ ...

你这些极限等式可以这么证明：


但这些式子解决不了主贴的问题。

王守恩

elim先生！下面的题目我想了好久，一直无法确认。
能用您的计算软件验算一下吗？我真的不会用计算软件。
   先谢谢了！
lim  [1^0+2^0+3^0+4^0+5^0+......+n^0]÷[n^1÷1^2]=1
lim  [1^1+2^1+3^1+4^1+5^1+......+n^1]÷[n^2÷2^2]=2
lim  [1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+......+n^2]÷[n^3÷3^2]=3
lim  [1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+......+n^3]÷[n^4÷4^2]=4
lim  [1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+......+n^4]÷[n^5÷5^2]=5
lim  [1^5+2^5+3^5+4^5+5^5+......+n^5]÷[n^6÷6^2]=6
..................

elim

elim

用 Mathematica 略作数值计算如下：


n = 100000 （区区十万) 时 Mathematica 对此算了很长时间。
不过此时 n^n = 100000^100000 的十进制表示早已是人类
写不到到底的自然数了。理论数学跟能不能写到底关系不大。
应用数学中的数值虽能写到底，一般地也只能是足够准而不是
绝对准。

所论极限等于 e/(e-1) (绝对准). 其数值表示是无尽小数
1.58197670686932642438500200510901155854686930107539613626678705964804\
3817391669743287204709404875057654620238580704045853329263455191911950\
9910294477416794616140940431843530734206301375247370856930395455678739\
9674016421608040699306979404076665988131366160462356802995815262096070\
6690655522820155502616107781963834665995994850608266860486276547457150\
5171891445755091650031941245697556168377514611518119321044279266304836\
1564357764380347533882763453649774172015995109700931824014062445742837\
0029405549539727108755213634488048781629623657158431170818053166763134\
9133539312032551651999526036364113305893107107650216953332748326629723\
6505869644525306819400348444303798208052059182544729065914429152430751\
8395609330970437146997734685296585172493960899780660745183011533836136\
5623049308050402283718649775659959250694174176662957776235939916519505\
1168930939493136499749636932387435309012539281817270133619095898082606\
0418156961595116017877384096721744578415616678937777439095593585499513\
630293580582646266347.....

elim

天山草先生和各位网友，如何用 Mathematica 数值计算这个要命的数列

{(1^n+2^n+...+n^n)/(n^n) }？

luyuanhong

楼上 elim 的帖子很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

天元酱菜院

   （ (n-k)  /n）^n =  1  /  【  [  (n-k) /（n-k）  + k /(n-k) ] ^ [ (n-k)/k  * kn/(n-k) ] 】  

所以： lim  (n-k)^n  / n^n  =  1 /  e ^k

于是： 原式 = 1+ 1/e + 1/ e^2  + 1/e^3 + .....
以 (e-1)/(e-1) 乘之，得： e/(e-1)

      

luyuanhong

楼上 天元酱菜院 的解答很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。