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Ccmmjj把这个题目在数学中国网站贴出后,很多人试图使用几何方法证明,Ccmmjj于2017, 8,16 日说“虽然写了很多,但作为证明,还是不够”:然后Ccmmjj在2017 8,17 也又贴出了一个证明.这个证明,可以说是:先把三角形ΔABC图形画作等腰三角形再作辅助线的证明,辅助线的做法是,平移BE至DG,连接CG、EG,得平行四边形BDGE,等腰三角形ΔCGE。 他知道:证明中不能把三角形ΔABC看成等腰说∠B=∠C, 但他根据ΔCGE等腰说∠EGC=∠ECG也是不能容许的,然后他在不妨假设BE〉CD之下,得出∠1 〉∠4,∠3 〉∠2,再比较ΔBDE与ΔBEC 有条件:BD=CE ∠3 〉∠2, BC=CB得出与假设BE〉CD矛盾的CD〉BE。 于是假设BE〉CD不成立,同理CD〉BE也不成立,只有BE=CD,最后得出AB=AC的结论。对这个证明网友谢芝灵8月24日贴出 “这个推理是错误的!因为:∠3>∠2 不能得到:CD>BE。只有在同一个三角形中(或全等三角形中)才有楼主的∠3>∠2 得CD>BE),楼主预先把△BEC与△BDC 视为全等了。所以这个证明是错误的”的点评意见。天元酱菜院网友9月18日又贴出点评说;“楼主的证明无懈可击。 楼主说: 在三角形DBC与BCE中,若有【BD=CE; 角3>角2;BC=CB】; 则有 CD>BE。 很清楚,很明白。 对这个过渡非议其实等同于对余弦定理的非议”。这两个点评说明:Ccmmjj 的证明没有把问题说到家,没有根据余弦定理说明或证明“∠3>∠2 得CD>BE”的论断。也有网友指出:“如果各有两边对应相等,则,夹角较大者第三边较大”的道理为Ccmmjj辩护,但这也说明Ccmmjj没有把问题说到家。更重要的问题是:这个问题是一个要求证明它是等腰三角形的命题,不能在事先画出等腰三角形,也不能在证明中应用任何等腰三角形性质去证明,但在Ccmmjj的证明中不仅画出的三角形ΔABC可以看作的是等腰的,而且证明∠1 〉∠4时,用到了等腰三角形底角相等的性质。还有,证明这个命题时,需要先进行底角不能为钝角的证明。事实上,可以做出一个∠B=120度,BC=1,AB=2 ∠2=30度,E点在AB上再做BD=CE, D在AC上,此时的两个三角形ΔBCE 与ΔBCD中,可以算出:∠3 〉∠2,且∠3的对边CD大于∠2对边BE;没有矛盾。问题出在,笔者提出的这个三角形,不能满足∠1+∠2=∠3+∠4 的条件。但是不是可以在这个三角形做出:既满足BD=CE,又满足∠1+∠2=∠3+∠4 的条件的点D与E呢? 是不是存在满足这两个条件的其它∠B不等于∠C的三角形呢?这是证明Ccmmjj 这个问题时,必须说清楚的问题。总之,论坛上所以这些几何证明都不是圆满的证明。为此,笔者于 2017-9-1根据自己的“几何学中的点、线、面、平行公理都需要使用极限概念、勾股定理也是极限性、理想性关系的思想”,提出了可以说“基本不使用(但不是绝对的)图形说明的”,而使用变数与微积分学中极值概念下的函数、导数证明的方法,但笔者贴出的解题证明,也有错误的地方,经天元酱菜院等网友认真研究修改后,得出了现在笔者认为比较严谨的证明。 |
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