问素数的一个性质

babytownover

有些素数有以下性质，如此素数为P，其倒数循环节由（P-1)个数组成，如7,1/7=0.(142857)循环，再如23，29等。试问合数有没有此性质，而什么样的素数有此性质，有没有什么表达式。我希望过程，衷心感谢。
p.s.这个问题是否和数列1,11,111,1111,11111,...中的素数有关。