已知一个四面体的六条棱长为 2、3、3、4、5、5 ，求此四面体体积的最大值

宇宙无理数

公式的量纲必须平衡, 否则公式不可能正确. 我在10楼写过一个帖子, 可能你没注意, 现在转发给你."@ 王守恩, 体积的量纲是长度的立方,  显然你给出的这个公式量纲不对, 所以你给出的公式应该不正确. 汇心几何学(v9版)的定理29.2给出了四面体体积公式的一种形式. 另外, 我还见过一种行列式形式的公式, 现在记不清楚了, 如果你需要哪天我找给你."

王守恩

我们把四面体看作三角形ABC(P是内部一点),

\(BC=\sqrt{a},CA=\sqrt{b},AB=\sqrt{c},PA=\sqrt{A},PB=\sqrt{B},PC=\sqrt{C}\)

问题 1,  已知6条棱，求四面体体积。公式如下：

\(\sqrt{\frac{aA(b+B+c+C)+bB(a+A+c+C)+cC(a+A+b+B)-(aA(a+A)+bB(b+B)+cC(c+C)+a(bc+BC)+A(bC+Bc))}{144}}\)

问题 2,  已知6条棱，求四面体体积的最大值。

  公式不变，6条棱按a≤b≤c≤A≤B≤C排列。譬如：

  6条棱=5, 6, 7, 8, 9, 10,  a=25,b=36,c=49,A=64,B=81,C=100,

  Table[Table[Table[Table[Table[Table[Solve
  [{V == Sqrt[(a*A (b + B + c + C)+ b*B (a + A + c + C) + c*C (a + A + b + B)
  - (a*A (a + A) + b*B (b + B) + c*C (c + C) + a (b*c + B*C) + A (b*C + B*c)))/144]}, {V}],
  {a, 25, 25}], {b, 36, 36}], {c, 49, 49}], {A, 64, 64}], {B, 81, 81}], {C, 100, 100}]

  {{{{{{{{V -> 16 Sqrt[5]}}}}}}}}

问题 3,  已知6条棱，求四面体体积的最小值。

  公式不变，6 条棱按 a≥b≥c≥A≥B≥C 排列。譬如：

  6条棱=5, 6, 7, 8, 9, 10,  a=100,b=81,c=64,A=49,B=36,C=25,

  Table[Table[Table[Table[Table[Table[Solve
  [{V == Sqrt[(a*A (b + B + c + C) + b*B (a + A + c + C) + c*C (a + A + b + B)
  - (a*A (a + A) + b*B (b + B) + c*C (c + C) + a (b*c + B*C) + A (b*C + B*c)))/144]}, {V}],
  {a, 100, 100}], {b, 81, 81}], {c, 64, 64}], {A, 49, 49}], {B, 36, 36}], {C, 25, 25}]

  {{{{{{{{V -> (7 Sqrt[215])/4}}}}}}}}

王守恩

想通了，主帖不是问题。来一个另外的问题。

【问题】以长度为11，12，13，14，15，16 六条线段为棱，能够搭建多少个不同四面体？
（镜像对称而不能旋转重合的两个四面体亦视为不同）。

把四面体看作一个平放在桌面上的三角形ABC(P是内部一点),

BC=a,CA=b,AB=c,PA=A,PB=B,PC=C

我们总可以让 11=a。

12有3种可能：

12=b，可以有24种变化。

12=c，可以有24种变化。

12=A，可以有24种变化，其中有12种=另外12种。

合计能够搭建24+24+24/2=60个不同的四面体。

王守恩

把四面体看作一个平放在桌面上的三角形ABC(P是内部一点),

BC=a,CA=b,AB=c,PA=A,PB=B,PC=C

我们总可以让 11=a。

12有3种可能。

第1种可能: 12=b，可以有24种变化。
1: a,b,c,A,B,C=11,12,13,14,15,16,  
2: a,b,c,A,B,C=11,12,13,14,16,15,
3: a,b,c,A,B,C=11,12,13,15,14,16,
4: a,b,c,A,B,C=11,12,13,15,16,14,
5: a,b,c,A,B,C=11,12,13,16,14,15,
6: a,b,c,A,B,C=11,12,13,16,15,14,
1: a,b,c,A,B,C=11,12,14,13,15,16,  
2: a,b,c,A,B,C=11,12,14,13,16,15,
3: a,b,c,A,B,C=11,12,14,15,13,16,
4: a,b,c,A,B,C=11,12,14,15,16,13,
5: a,b,c,A,B,C=11,12,14,16,13,15,
6: a,b,c,A,B,C=11,12,14,16,15,13,
1: a,b,c,A,B,C=11,12,15,13,14,16,  
2: a,b,c,A,B,C=11,12,15,13,16,14,
3: a,b,c,A,B,C=11,12,15,14,13,16,
4: a,b,c,A,B,C=11,12,15,14,16,13,
5: a,b,c,A,B,C=11,12,15,16,13,14,
6: a,b,c,A,B,C=11,12,15,16,14,13,
1: a,b,c,A,B,C=11,12,16,13,14,15,  
2: a,b,c,A,B,C=11,12,16,13,15,14,
3: a,b,c,A,B,C=11,12,16,14,13,15,
4: a,b,c,A,B,C=11,12,16,14,15,13,
5: a,b,c,A,B,C=11,12,16,15,13,14,
6: a,b,c,A,B,C=11,12,16,15,14,13,

第2种可能: 12=c，可以有24种变化。
1: a,b,c,A,B,C=11,13,12,14,15,16,  
2: a,b,c,A,B,C=11,13,12,14,16,15,
3: a,b,c,A,B,C=11,13,12,15,14,16,
4: a,b,c,A,B,C=11,13,12,15,16,14,
5: a,b,c,A,B,C=11,13,12,16,14,15,
6: a,b,c,A,B,C=11,13,12,16,15,14,
1: a,b,c,A,B,C=11,14,12,13,15,16,  
2: a,b,c,A,B,C=11,14,12,13,16,15,
3: a,b,c,A,B,C=11,14,12,15,13,16,
4: a,b,c,A,B,C=11,14,12,15,16,13,
5: a,b,c,A,B,C=11,14,12,16,13,15,
6: a,b,c,A,B,C=11,14,12,16,15,13,
1: a,b,c,A,B,C=11,15,12,13,14,16,  
2: a,b,c,A,B,C=11,15,12,13,16,14,
3: a,b,c,A,B,C=11,15,12,14,13,16,
4: a,b,c,A,B,C=11,15,12,14,16,13,
5: a,b,c,A,B,C=11,15,12,16,13,14,
6: a,b,c,A,B,C=11,15,12,16,14,13,
1: a,b,c,A,B,C=11,16,12,13,14,15,  
2: a,b,c,A,B,C=11,16,12,13,15,14,
3: a,b,c,A,B,C=11,16,12,14,13,15,
4: a,b,c,A,B,C=11,16,12,14,15,13,
5: a,b,c,A,B,C=11,16,12,15,13,14,
6: a,b,c,A,B,C=11,16,12,15,14,13,

第3种可能: 12=A，可以有24种变化，其中有12种=另外12种。
1: a,b,c,A,B,C=11,13,14,12,15,16,  
2: a,b,c,A,B,C=11,13,14,12,16,15,
3: a,b,c,A,B,C=11,13,15,12,14,16,
4: a,b,c,A,B,C=11,13,15,12,16,14,
5: a,b,c,A,B,C=11,13,16,12,14,15,
6: a,b,c,A,B,C=11,13,16,12,15,14,
1: a,b,c,A,B,C=11,14,13,12,15,16,  
2: a,b,c,A,B,C=11,14,13,12,16,15,
3: a,b,c,A,B,C=11,14,15,12,13,16,
4: a,b,c,A,B,C=11,14,15,12,16,13,
5: a,b,c,A,B,C=11,14,16,12,13,15,
6: a,b,c,A,B,C=11,14,16,12,15,13,

合计能够搭建24+24+24/2=60个不同的四面体。

王守恩

把四面体看作一个平放在桌面上的三角形ABC(P是内部一点),

BC=a,CA=b,AB=c,PA=A,PB=B,PC=C

我们总可以让 11=a。12有以下可能。

1: a,b,c,A,B,C=11,12,13,14,15,16,  
2: a,b,c,A,B,C=11,12,13,14,16,15,
3: a,b,c,A,B,C=11,12,13,15,14,16,
4: a,b,c,A,B,C=11,12,13,15,16,14,
5: a,b,c,A,B,C=11,12,13,16,14,15,
6: a,b,c,A,B,C=11,12,13,16,15,14,
1: a,b,c,A,B,C=11,12,14,13,15,16,  
2: a,b,c,A,B,C=11,12,14,13,16,15,
3: a,b,c,A,B,C=11,12,14,15,13,16,
4: a,b,c,A,B,C=11,12,14,15,16,13,
5: a,b,c,A,B,C=11,12,14,16,13,15,
6: a,b,c,A,B,C=11,12,14,16,15,13,
1: a,b,c,A,B,C=11,12,15,13,14,16,  
2: a,b,c,A,B,C=11,12,15,13,16,14,
3: a,b,c,A,B,C=11,12,15,14,13,16,
4: a,b,c,A,B,C=11,12,15,14,16,13,
5: a,b,c,A,B,C=11,12,15,16,13,14,
6: a,b,c,A,B,C=11,12,15,16,14,13,
1: a,b,c,A,B,C=11,12,16,13,14,15,  
2: a,b,c,A,B,C=11,12,16,13,15,14,
3: a,b,c,A,B,C=11,12,16,14,13,15,
4: a,b,c,A,B,C=11,12,16,14,15,13,
5: a,b,c,A,B,C=11,12,16,15,13,14,
6: a,b,c,A,B,C=11,12,16,15,14,13,

1: a,b,c,A,B,C=11,13,14,12,15,16,  
2: a,b,c,A,B,C=11,13,14,12,16,15,
3: a,b,c,A,B,C=11,13,15,12,14,16,
4: a,b,c,A,B,C=11,13,15,12,16,14,
5: a,b,c,A,B,C=11,13,16,12,14,15,
6: a,b,c,A,B,C=11,13,16,12,15,14,

合计能够搭建30个本质不同的四面体。