数学哲学的基本问题

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数学哲学的基本问题

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[美]M.克莱因，以“数学：确定性的丧失”为题指出：从古到现在 存在着许多不同的数学概念，存在着以公理为基础的形式逻辑主义与直觉主意、实无穷与潜无穷等许多争论[3]，笔者对这些问题研究后，根据唯物辩证法与毛泽东的《实践论》[4]提出：数学还是有确定性的。这个确定性是：数学理论的本质是研究现实数量大小、多少及其关系的科学；数学中的一切叙述需要从实践出发而且需要在继续实践研究中改进再改进。就自然数来讲，需要知道：自然数是表示现实集合元素个数多少的表达符号。由此出发，就有了需要背熟自然数的加法、乘法的运算法则。自然数的表达符号及其运算法则就构成了现行的自然数的初步理论。但进一步，根据《实践论》中“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环的内容，都比较地进到了高一级的程度”[4]的思想，需要对这个初步理论进行修改与补充，为此笔者在文献[5]中提出了如下的自然数的理想性定义及其说明。
定义1（自然数的理想性及其说明）：忽略了现实集合各个元素质与大小差别之下的表达符号叫做理想自然数（ 简称为自然数）[5]。
有了这个定义，就有了需要背熟自然数的加法、乘法的运算法则，但在联系实际应用时，还需要知道9个大苹果比十个小苹果养分多”。进一步，使用自然数表达线段长度的毫米数时，需要知道：“线段具有测不准性，使用自然数表示两个线段毫米数的和时，需要进行误差分析。”这个自然数概念的修改说明：自然数理论阐述时，需要使用毛泽东著《矛盾论》说的“对立统一的法则，是唯物辩证法的最根本的法则”、“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界[4]”的论述。虽然笔者指出：自然数具有理想性的缺点，但自然数也具有反映限数量集合元素个数多少的现实性，在讨论一家人的个数时，可以忽略各个人大小的差别，只讲个数。在此需要指出：笔者的这个自然数定义与现行数学教科书的余元希等学者《初等代数研究》定义不同，他的定义是以ZFC形式语言公理体系中空集存在公理与并集合公理为基础的定义[6]，它缺乏联系实际应用的说明，而笔者的这个自然数定义是唯物辩证法下的定义，它反映了自然数与现实集合的关系。