神秘数字“142857”解析

zhangyd2007@soh

神秘数字“142857”解析
  张彧典（山西省盂县县委党校）
传说，科学家在埃及金字塔内发现了一组神秘数字“142857”。
科学家认为，7是一个最特殊的数字，当用7去除自然数1、2、3、4、5、6时，它们都是142857这样一组数字的不同循环小数，发现很多有趣的地方：
问题1、 为什么小数部位的循环节在第7位？
问题2、为什么商数的循环节首数依1、2、4、5、7、8顺序排列？
         1÷7＝0.142857  *  0.142857X1=0.142857
2÷7＝0.285714  *  0.142857X2=0.285714
3÷7＝0.428571  *  0.142857X3=0.428571
4÷7＝0.571428  *  0.142857X4=0.571428
5÷7＝0.714285  *  0.142857X5=0.714258
6÷7＝0.857142  *  0.142857X6=0.857142
问题3、 为什么商数部位里的数字不会改变，只不过是位置交换。
问题4、 为什么呈现9的重复？
142857x7=999999
142 + 857 = 999
14 + 28 + 57 = 99 。
以上几个问题，看上去很神秘，其实，其中的奥秘，通过小学除法运算法则以及除法竖式，就能够揭示其本质。现在，笔者逐一解析。

一、首先运用小学四则运算法则的换算，解析问题2 。
因为 * 左边有    0.142857＝1÷7
所以 * 右边的0.142857X1=(1÷7) x 1=1÷7=左边；
同理，其它五对式子也是左右相同的。

二、其次解析问题1—3 。
看下面竖式除法，
在传统除法运算中，包含四大要素：被除数，除数，商数，余数。
其实这种分类方法不好，因为余数在下一步运算中仍然要按照除数分配，所以也是被除数。所以，除法运算中只包含三大要素：被除数，除数，商数。
如图1所示：
经过①、②、③、④、⑤、⑥ 6次除法运算，依次得到的红色3、2、6、4、5、1都是余数，也都是被除数，最后余数1还原为初始状态的被除数1，形成一个循环节，看看第⑦次运算以后的余数3，就可以知道，从第7次运算开始，进入了第二个循环节运算。
所以 ，对1÷7 的运算以6次为一个循环节，到此回答了问题1“7位为一个循环节”。
因为6个被除数的循环数字为红色1、3、2、6、4、5，             -----------（1）式
对应的商数为绿色1、4、2、8、5、7， --    ----------------------  （2）式
形成被除数与商数的一一对应关系。
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又因为6个被除数恰好是1-----6的连续自然数（这就是科学家认为的“7是一个最特殊的数字”奥秘所在），所以按照数字连续递增排列（1）式为
1、2、3、4、5、6时，与对应的商数的循环节首数的排列（2）式则为
1、2、4、5、7、8 ，形成新的一一对应关系， 到此揭示了问题2、3中的奥秘。
                              
三、最后解析4：
由图1可知   142857x7
=[（100000 -1）÷7 ] X 7
=（100000 -1）÷7 X 7
=100000 -1
=999999
由图1可知  142=（1000-6）÷7
857=（6000-1）÷7
所以        142+857=（7000-7）÷7
            =6993÷7
=999
同理        14=（100-2）÷7
28=（200-4）÷7
57=（400-1）÷7
所以       14+28+57=（700-7）÷7
            =699÷7
            =99
         
                                 图1               
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作者简介
张彧典，男，1943年9月生，山西省盂县人，大专学历，汉族，退休前在盂县县委党校从事教学工作（盂县县城秀水桥南，邮编045100），数学高级讲师，一生从事数学教学与研究，研究方向：初等数学，世界数学名题“四色猜想”的人工证明。专著：
《怎样解小学数学应用题》 ，《四色问题探秘》 ，论文有《四色猜想的独特证明》等。  
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