用幂级数微分方程 y'-xy=0 ，初值 y(0)=1

wufaxian

y'-xy=0   初值y(0)=1

我是将方程改成 y'/y=x   。两边求积分 变成ln(y)= (x^2)/2   最后求解

但是这道题让用幂级数求解。请问用幂级数如何求解，必须要用到幂级数除法么? 书中只给出了幂级数乘法。不知道是否可以绕过幂级数除法，来解出这道题？

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-9-17 17:49

谢谢lu老师，我被换元法吸引走了。忘记直接乘以x做减法就可以了。多谢你的指点。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-9-17 17:49

lu老师，向你请教一下。你是怎么想出来最后一步和倒数第二步的。即如何从一个级数的展开式推测出他的求和表达式的呢？

luyuanhong

因为我们都很熟悉，知道指数函数 e^x 的麦克劳林级数展开式为

    e^x = 1 + x + x^2/2! +x^3/3! + x^4/4! + …… 。

所以看到 1 + x^/2 + (x^2/2)^2/2! + (x^2/2)^3/3! + …… ，

就很容易想到它是 e^(x^2/2) 的级数展开式。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-9-18 21:07
因为我们都很熟悉，知道指数函数 e^x 的麦克劳林级数展开式为

    e^x = 1 + x + x^2/2! +x^3/3! + x^4/ ...

是的lu老师。当你在分母拆出2的n次方的时候就比较清晰了。问题是在下面这一步调换的时候。你是怎么想到拆出2的n次方呢？

当然，你写出来以后我可以看明白。不过我这属于时候诸葛亮。你在上一步是怎么想到这样拆解分母的？下图！

luyuanhong

我们看到式子中出现了偶数的连乘积 2×4 ，2×4×6 ，2×4×6×8 ，……

自然会联想到阶乘，即正整数的连乘积  2！= 1×2 ， 3！= 1×2×3 ，4！= 1×2×3×4 ，……

怎么把偶数的连乘积化成正整数的连乘积？ 就会想到要从每个偶数中提取出因子 2 。