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数学中考文化类试题价值探析与思考
作者 | 钱德春(江苏省泰州市教育局教研室)、林山杰(福建省福州市三牧中学)
来源 | 《中学数学》:初中版,2020年1月刊
数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言及数学的概念和思想方法在形成和发展中所体现的文化特征与文化价值,包括数学家、数学发展史、数学教育中的人文精神,数学与社会、数学与各种文化的关系等.
《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《课标(2011版)》)明确指出:“数学是人类文化的重要组成部分.”《普通高中数学课程标准(2017年版)》也强调:“数学承载着思想和文化,是人类文明的重要组成部分.”近年来,以数学文化为素材的试题逐渐成为中考亮点.笔者抽取2019年120份中考数学试卷进行了分析,发现具有文化特征的试题共63道,从试题类型上看,与数学文化相关的选择题36道、填空题16道、解答题11道;从文化特征上看,与数学史相关的试题19道、数学与生活联系的试题14道、数学与艺术联系的试题8道、数学与科技联系的试题22道.以数学文化为素材的试题体现了立德树人的教育导向,凸显了命题者的文化底蕴与追求,引导数学教师关注数学文化及其教育价值.本文基于对2019年中考数学文化类试题的价值探析,谈谈数学文化对数学教师的引领、对学生数学学习的思考.
一、数学中考文化类试题价值探析
纵观2019年中考数学文化类试题发现,各地试题可谓各显神通、巧夺天工.有的以古代名著为蓝本,有的以数学游戏为背景,有的以经典名题为原型,有的以数学活动为抓手,有的以生产、生活为载体.旨在弘扬数学文化历史,激发学生数学探究的兴趣,拓展学生数学思维的深度,引导学生感悟数学理性精神.
1.以古代名著为蓝本,弘扬数学文化历史
例1 (2019年甘肃卷)中国古代人民很早就在生产、生活中发现了许多有趣的数学问题,其中《孙子算经》中有个问题,原文:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问人与车各几何?译文为:今有若干人乘车,每3人共乘一车,最终剩余2辆车,若每2人共乘一车,最终剩余9个人无车可乘,问:共有多少人,多少辆车?
命题价值:我国历史上出现了许多数学名家、名著,如刘徽的《九章算术注》和《海岛算经》、祖冲之的《缀术》、秦九韶的《数书九章》、杨辉的《杨辉算法》等,这些资源为数学命题提供了丰富的素材.据不完全统计,2019年中考试卷中,以《孙子算经》《九章算术》《算学启蒙》《洛书》《增删算法统宗》等中国古代数学经典名著中的素材为蓝本命制的试题约35道.这种命题方式所传递的信息是:我国是一个东方文明古国,具有灿烂的、丰富的、悠久的科学文明史.
教学价值:翻开数学课本我们发现:对中国古代数学文明史的渗透无处不在.引用数学史或科技史的经典著作进行命题,可以引导教师以课堂为主阵地,拓宽学生的视野,加强爱国主义教育,让学生感受我国科学文明历史的源远流长.
2.以生产、生活为载体,渗透数学应用文化
例2 (2019年安徽卷)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1-①,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图1-②,筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB长为6米,∠OAB=41.3°,若点C为运行轨道的最高点(C、O的连线垂直于AB),求点C到弦AB所在直线的距离.
命题价值:此题将《农政全书》中的筒车问题抽象为弓形模型,将生活情境与数学问题巧妙结合,学生既能感受到中国古代人民的智慧,具有较深厚的文化价值;又能体会数学知识在现实应用中的广泛性,体现了数学的应用价值.
教学价值:从数学知识上说,试题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的应用.教学中,将这些素材适当加工,作为教学的情境,可以培养学生的模型意识与抽象思维,具有较好的教学价值.
3.以数学游戏为背景,激发数学探究兴趣
例3 (2019年浙江湖州卷)七巧板是我国祖先的一项卓越创造,被誉为“东方魔板”,由边长为 4√2 的正方形ABCD可以制作一副如图2-1所示的七巧板,现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2-②所示的“拼搏兔”造型(其中点Q、R分别与图2-②中的点E、G重合,点P在边EH上),则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是 。
命题价值:“七巧板”为我国古代游戏的工具,由宋代黄伯思的《燕几图》演变而来,清嘉庆养拙居士著《七巧图》让“七巧板”广泛流传,体现了我国古人的聪明才智.本题选用“七巧板”作为命题背景,具有丰富的历史内涵.“七巧板”含有3种大小的5个等腰直角三角形、1个特殊的平行四边形和1个正方形.七巧板拼图需要平移、翻折、旋转等几何变换的知识与方法,让学生在拼图中发展想象力,感受数学的变化美.
教学价值:从数学知识上说,此题考查了正方形的性质、勾股定理等知识从数学思想上说,试题需要将在图2-①中求的线段转化到图2-②中解决,考查转化和化归的思想.这正是此类问题的教学价值.
中考试题中不少以中国古代数学游戏为背景,常见的趣味游戏有折纸、中国象棋、国际象棋、扑克牌游戏、幻方游戏、数独游戏等.用丰富的数学游戏资源设计相关数学试题,可以有效引导教师在数学教学中注重数学文化的渗透,让学生在欣赏数学美的同时,激发学生的数学学习兴趣.
4.以经典名题为原型,拓展数学思维深度
例4 (2019年浙江舟山卷)小波在复习时,遇到一个课本上的问题,温故后进行了操作、推理与拓展.
(1)温故:如图3-①,在△ABC中,AD⊥BC于点D,正方形PQMN的边QM在BC上, 顶点P、N分别在AB、AC上,若BC=6,AD=4,求正方形PQMN的边长.
(2)操作:能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作:如图3-②,任意画 △ABC,在AB上任取一点P', 画正方形P'Q'M'N',使点Q'、M'在BC边上,点N'在△ABC 内,连接BN'并延长交AC于点N,画NM⊥BC于点M, ②NP⊥NM交AB于点P,PQ⊥ BC于点Q,得到四边形 PQMN.小波把线段BN称为 “波利亚线”。
(3)推理:证明图3-②中的四边形PQMN是正方形.
(4)拓展:在(2)的条件下,于“波利亚线”BN上截取NE=NM,连接EQ、EM(如图3-③),当 tan∠NBM=3/4 时,猜想∠QEM的度数,并尝试证明.
请帮助小波解决“温故”“推理”“拓展”中的问题.
命题价值:该题改编自波利亚《怎样解题》第一部分第18节的“一个作图题”,也是教材中的经典习题波利亚是著名数学教育家,他的著作影响深远.问题(2)以阅读材料方式说明作图方法,大多数教师都熟悉具体题目及解法,但未必了解波利亚的研究经过.试题呈现波利亚研究该题的思维过程,就是试图推动教师与学生对数学经典名著的阅读.
教学价值:从数学文化角度来看,许多数学家的成长与经典名题有关.如欧拉与七桥问题、陈景润与哥德巴赫猜想、勾股弦图、将军饮马问题、黄金分割与斐波那契数列等.不少富有神韵、充满文化味的中考题都源自于这些经典问题.从数学知识与方法来看,试题以三角形内接正方形为原型,旨在激活学生已有经验,问题(2)、(3)的画图操作与证明考查经验升华与方法迁移能力,而问题(4)从原型题出发,通过合理改编,考查综合运用知识的能力,渗透“变中不变”的思想.试题的“温故”“操作”“推理”“拓展”过程描述,本质上是学习方法的引导,数学学习要思考“是什么”“有什么”“为什么”.这种命题导向有助于引领教师深入挖掘经典名题的数学文化内涵与育人价值,有助于培养学生良好的思维方式和思维习惯.
5.以数学活动为抓手,感悟数学理性精神
例5 (2019年江苏连云港卷)【问题情境】如图4-①,在正方形ABCD中,点E为边BC上一点(不与点B、C重合),垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N.判断线段DN、MB、EC之间的数量关系,并说明理由.
【问题探究】在【问题情境】的基础上,
(1)如图4-②,若垂足P恰好为AE的中点,连接BD,交MN于点Q,连接EQ,并延长交边AD于点F.求∠AEF的度数.
(2)如图4-③,当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时,连接AN,将△APN沿着AN翻折,点P落在点P'处.若正方形ABCD的边长为4,AD的中点为S,求P'S的最小值.
【问题拓展】如图4-④,在边长为4的正方形ABCD中,点M、N分别为边AB、CD上的点,将正方形ABCD沿着MN翻折,使得BC的对应边B'C'恰好经过点A,C'N交AD于点E.分别过点A、F作AG⊥MN,FH⊥MN,垂足分别为G、H.若 AG=2/5,请直接写出FH的长.
命题价值:该题最后一问源自王树禾所著的《数学聊斋》2.16《勾三股四弦五精品展》一文,显然也有数学名题的背景.以折纸操作的方式探究图形关系也是一种数学活动:一是通过“折纸”活动,探索图形之间的位置和数量关系,并用演绎推理证明结论或推翻结论;二是通过“折纸”活动,直观验证经过演绎推理所得到的数学结论.所以该题是集数学文化、数学探究与数学推理于一身的好题。
教学价值:数学探究应该指向数学思维.本题以“正方形中嵌入互相垂直的线段”的探究为抓手,设计了【问题情境】【问题探究】【问题拓展】.学生通过阅读理解、操作实验、观察猜想、计算推导等思维活动发现并解决问题.翻开历年各地中考试卷发现:大部分几何压轴题都需要动手动脑的数学探究,引导学生大胆猜想、小心求证,这有助于培养学生的创新意识与理性精神.
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