三座乌克兰、波兰城市与波兰数学学派

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三座乌克兰、波兰城市与波兰数学学派

原创 南山莲子 和乐数学 2022-03-18 10:36

近日来，因为俄罗斯与乌克兰之间的战争，乌克兰的一些地名，如乌克兰南方要塞敖德萨，首都基辅等为公众所熟悉。我们由此介绍了出生在敖德萨的乌克兰数学家（有人认为应该属于前苏联数学家）盖尔范德，也介绍了出生在基辅的很有希望在今年获得菲尔兹奖的女数学家玛丽娜·维亚佐夫斯卡。

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随着战事的发展，难民问题突出，另有三座城市逐渐进入公众视线：它们是乌克兰西部重镇利沃夫（波兰语 Lwow ，英语成为 Lvov ），波兰东部城市克拉科夫（Krakow）和兰首都华沙。



战争刚开始不久，利沃夫就成为撤离乌克兰的主要出口之一，毕竟从利沃夫到波兰只要大约一小时的车程。据悉，最近中国大使馆也已经从基辅搬到了利沃夫。



3 月 13 日，利沃夫一军事训练中心遭俄军导弹袭击更是使得利沃夫成为焦点。

在战争开始之后，波兰承诺将接收所有来自乌克兰的难民，每天都有大量的难民抵达波兰。据新闻报道，自 2 月 24 日以来，至今已有约 155 万人从乌克兰抵达波兰。分别作为波兰的首都华沙和第二大城市和直辖市的克拉科夫，已经挤满了几十万乌克兰人。近日有新闻呼吁说这两大城市已经不堪重负。


克拉科夫难民支持点（Ukrainian refugees crowd into the various support points of the train station in Krakow, Poland (Adri Salido/Anadolu Agency via Getty Images)）

克拉科夫是在距离波乌边境最近的大城市，基础设施比较好，自然成为难民进入和中转的站点。





波兰数学学派的三个分支

这三座城市使我们想起波兰数学学派（Polish School of Math）。二战期间，波兰数学学派兴起，而波兰数学学派主要由三个学派组成（有时也加入 Stefan Batory University）：

1. 利沃夫学派（the Lwów School of Mathematics），主要研究泛函分析；

2. 华沙学派（the Warsaw School of Mathematics），主要研究集合论，数理逻辑与拓扑；

3. 克拉科夫学派（the Kraków School of Mathematics）,主要研究微分方程，解析函数与微分几何等。

波兰学派的兴盛主要在二战期间。这个学派的数学家的名字至今频繁出现在数学教科书中，如

1. 谢尔宾斯基三角（地毯），这是一个基本而重要的分形；



2. 巴拿赫空间：这是泛函分析中的基本空间。为理解巴拿赫空间，我们可以回忆实数。在学数的时候，我们有有理数，无理数，以及他们的并——实数。数之间有距离——绝对值，无理数可以看做有理数列的极限，实数是有理数的“完备化”。巴拿赫空间是将函数看做空间中的点，类似于直线上的点，考虑函数之间的距离，完毕化等，

3. 波兰空间：这是一个完备可分可距离化的拓扑空间。因主要有波兰数学家研究而得名。以国名命名一个数学概念是不多见的，我们可以想到的一个重要类比是中国剩余定理。

4. Zygmund 是波兰重要的数学家。现在是数学明星陶哲轩的导师 Stein 的导师就是 Zygmund 。

5. 塔斯基悖论：可以将一个三维球经过分割拼成两个与之全等的三维球。

在具体介绍波兰数学学派前，我们简要聊下相关的问题。

数学家的家乡

波兰历史上曾三次亡国，领土割让与合并较为频繁。利沃夫历史上曾先后属于多个国家：波兰，波兰-立陶宛联邦，奥地利帝国，奥匈帝国，西乌克兰人民共和国，波兰，苏联，乌克兰。

我们看到利沃夫现在属于乌克兰，但数学上的利沃夫属于波兰。这是因为两次世界大战期间，利沃夫恰好属于波兰。

这样的现象在欧洲并不乏见。有不少数学名城曾隶属于不同国家。


柯尼斯堡

柯尼斯堡（哥尼斯堡）最早是古普鲁士人的定居点，不但因欧拉研究七桥问题而出名，而且还是数学家希尔伯特的家乡：希尔伯特于 1862 年出生在柯尼斯堡，并在柯尼斯堡求学，任教，直到 1895 年接受克莱因的邀请才哥廷根大学任教。希尔伯特的好友赫尔曼·闵可夫斯基也主要在柯尼斯堡求学。在1945年前，柯尼斯堡是德国文化中心之一，如大哲学家伊曼努尔·康德一生都居住在柯尼斯堡。

1945 年，根据《波茨坦协定》，柯尼斯堡成为苏联的领土。现在是俄罗斯的飞地加里宁格勒。



现在的波兰城市弗罗茨瓦夫（Wroclaw）曾是德国城市布雷斯劳（Breslau），著名数学家柯朗，托普利茨和海林格等都曾在此求学。

德国数学家、波兰数学家家乡的变迁实际上二战结果的缩影：二战后，德国将一部领土赔偿给波兰，而波兰也把一部分东部土地划分给了乌克兰。现在，波兰城市弗罗茨瓦夫深受德国影响，德语使用，德国商店，德国建筑随处可见；而在乌克兰城市利沃夫，则又和波兰文化密切相关。



历史上的数学学派

历史上的数学学派并不多。

法国的布尔巴基学派是以虚构的名字名字命名的，是特例。有的以研究领域而出名的，如法国函数论学派，意大利几何学派等。数学学派主要以城市命名，如剑桥分析学派，哥廷根学派，圣彼得堡学派，莫斯科学派，普林斯顿学派等。

波兰数学学派其实也主要是以地名命名的学派组成。

所谓学派，一定是有一大群熠熠生辉的数学家，研究的主题、思想近似，影响了许多数学家。

如哥廷根学派以哥廷根大学为中心，源于高斯， 由黎曼、狄利克雷和雅可比等继承，后以克莱因和希尔伯为代表，聚集了诺特，柯朗，闵可夫斯基，冯·诺依曼，阿廷等著名数学家，为世界各国培养了许多重要数学家，从而使德国哥廷根数学学派进入了全盛时期，使哥廷根大学成为当时数学研究和教育的国际中心．

剑桥分析学派以英国剑桥大学为中心，以哈代(Hardy, U. H.)和李特尔伍德(Littlewood , J. E.)为代表，影响了杨（Young,L.C.），拉马努金和华罗庚等。

圣彼得堡数学学派可以追溯到柯西的学生布尼亚科夫斯基，研究的领域集中于概率论，代表人物有切比雪夫，马尔柯夫，李雅普诺夫等。

苏联莫斯科数学学派前有鲁金等对函数论的研究，后有柯尔莫哥洛夫，亚历山大洛夫，维诺格罗多夫，盖尔范德，沙法列维奇等对概率论，数学物理，拓扑学，数论等等的研究。

波兰的数学学派也同样是群星灿烂。

我们先概览波兰学派的兴起，后面将更具体地介绍相关人物。

影响了世界历史进程的波兰数学家

波兰的数学传统或许不那么强，但却有两件事情影响了历史进程。

哥白尼用数学来支持他革命性的日心说。

二战中，德军使用的恩尼格码非常复杂，一般都将主要功劳归于英国数学家图灵在布莱切利园（Bletchley Park）的工作。其实，波兰数学家的贡献也不可淹没。


德军的恩尼格码密码机

早在1921年，波兰人就从德国人手中获得了一台商用恩尼格玛密码机。军用的恩尼格玛密码机要比商业机更为复杂。曾在德国国防密码办公室工作过的汉斯·蒂洛·施密特，给了法国情报机关一份密码机操作手册，以及一份 1932 年 9 月至 10 月间的按键设置说明，法国人将它交给了波兰。

1932 年 12 月，波兰数学家玛丽安·雷耶夫斯基（Marian Rejewski）首次破译了德国的密码，从而为英国在二战中读取密码（“Ultra”）奠定了基础。雷耶夫斯基随后得到了数学家同行杰里·雷斯基（Jerzy Rzycki）和亨利克·齐加尔斯基（Henryk Zygalski）的协助。

1938 年底，波兰人还发明出一台名为“炸弹”（Bombe）的密码破译机，模拟了加密过程。波兰人在被德国和苏联占领前夕，把“炸弹”交给英国。


波兰密码三杰，左起为马里安·雷耶夫斯基、杰尔兹·罗佐基、亨里克·佐加尔斯基

此外，波兰数学家乌拉姆与爱德华·泰勒研究了氢弹。

波兰学派的兴起：计划数学

波兰数学在二战期间兴起虽然令人惊讶，但也有迹可寻。我们可以称之为计划数学。

1795 年至 1918 年期间，波兰被俄罗斯、普鲁士和奥地利分割。这三个国家都试图压制波兰民族主义。

如果联想到清末列强入侵，中国民族主义者办洋务，兴学校，派出留学生等的举措，就比较好理解波兰人的选择。

在外族统治下，波兰人民始终坚信波兰必将复国，并以一种非正式和低调的方式支持波兰文化和波兰教育。波兰被称为“没有国家的国家”。

在 1863 年波兰起义之后，波兰人提出要从基础开始，要重视科学与技术。数学作为需求资源最少就能取得成功的学科，被作为选择。

波兰的迈诺夫斯基（Mianowski）基金支持波兰科学和数学，支持在国外学习的博士生、从事重要研究的学者、学生奖学金和出版物。例如，它支持一系列名为 Poradnik dla Samoukow（自学指南）的书籍。这些书是为了绕过俄罗斯和德国的教育限制而设计的，由著名数学家雅尼斯泽夫斯基、谢尔宾斯基和萨伦巴撰写；课程包括级数、微分和积分方程以及拓扑学等主题。

迈诺夫斯基基金支持的另一个系列是 Nauka Polska jej Potrzeby Organizacja I Rozwój（《波兰科学与文学：需求、组织和发展》）。第一期（1917 年）包含两篇文章，对波兰数学学院的建立非常重要。


萨伦巴

第一篇文章由斯塔尼斯瓦夫·萨伦巴（Stanislaw Zaremba）撰写，他指出许多中学教师有成为未来学者的潜力；他敦促找到一种方法让他们出国深造。

萨伦巴被视为波兰人的骄傲，波兰现代数学的奠基人。克拉科夫学派的创始人Tadeusz Wazewski是萨伦巴的学生。


雅尼斯泽夫斯基

雅尼斯泽夫斯基（Zygmunt Janiszewski，1888-1920）的第二篇文章《波兰的数学需求》概述了波兰数学学校的计划。他敦促成立一个委员会，负责数学的组织工作，在中学就发现并留住有才华的学生，并建立一个数学研究中心；他认为，重要的是创造一种刺激性的数学氛围，并促进数学同事之间的合作（所以许多波兰文章都是多作者撰写的）。

雅尼斯泽夫斯基最重要的创新建议是两条：

第一，波兰应该让其大多数数学家将他们的工作集中在一个单一的数学分支上；

第二，创建一本国际数学杂志（接受英语、法语、德语和意大利语的论文），专注于一个狭窄的数学领域。

华沙学派

雅尼斯泽夫斯基的两个建议得到彻底的执行。

早期的波兰数学家集中力量研究集合论和拓扑学，在华沙大学工作，并于 1920 年一起创办了杂志《数学基础》，并在这个杂志上发表文章。


华沙学派以 1920 年创刊的《数学基础》杂志为形成标志

华沙学派的创始人为:

雅尼斯察夫斯基(Janiszewski，～1920)，瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（Waclaw Sierpiński，1882～1969)，马祖尔克维奇（Stefan Mazurkiewicz，1888-1945）。

代表人物有库拉托夫斯基(Kuratowski，1896～1980）、塔斯基(Tarski，1901～1983)、齐格蒙德(Zygmund，1900～1992）。


上: Stefan Mazurkiewicz (1888-1945), Zygmunt Janiszewski ( 1888-1920). 下: Kazimierz Kuratowski (1896-1980), Waclaw Sierpiński (1882-1969)
塔斯基有以塔斯基悖论命名的问题。齐格蒙德以三角级数和调和分析方面的杰出成就著称于世。

利沃夫学派

利沃夫学派的代表人物是库拉托夫斯基（K. Kuratowski, 1896-1980）、斯坦因豪斯（H. Steinhaus, 1887-1972）、巴拿赫(Stefan Banach，1892～1945)、乌拉姆等。他们都先后在利沃夫技术大学学习、任教，主要研究领域是泛函分析。他们常在“苏格兰咖啡馆”中聚会，提出和讨论数学问题，有《苏格兰咖啡馆数学问题集》（Scottish Book）。




利沃夫苏格兰咖啡馆


1930 年利沃夫学派的主要成员

或许是波兰最伟大的数学家的巴拿赫于 1920 年在利沃夫技术大学完成的博士论文。乌拉姆 18 岁时在利沃夫技术大学听库拉托夫斯基课时解决一个集合论问题所写的第一篇文章，都发表在这个杂志上。


利沃夫大学


利沃夫大学大厅

利沃夫学派以 1929 年创刊的《数学研究》杂志为代表。


《数学研究》

克拉科夫学派

克拉科夫的中央广场(Rynek Glowny)号称是全欧洲最大的中世纪广场。克拉科夫历史最悠久的雅盖隆大学成立于 1364 年，是波兰第一所大学，为仅次于捷克布拉格查理大学之中欧古校。哥白尼曾在此前求学，而雅盖隆大学图书馆是波兰最大的图书馆之一。藏有大量中世纪手稿，其中包括哥白尼《天体运行论》的原稿。1939 年，纳/粹入侵波兰，雅盖隆大学 184 名教授被送入萨克森豪森集中营。



克拉科夫学派由克拉科夫雅盖隆大学等，活跃于二战期间（1918—1939）。他们的研究领域主要是经典分析、微分方程和解析函数。

波兰数学学派崛起于民族危难之中，值得关注。如对我国数学学科的建设颇有对比、启发借鉴意义。类比于钱学森之问，可以问为何中国没有出现有影响的北京学派？



在 2021 年 9 月 25 日举行的中关村论坛全球科技创新高端智库论坛上，中国科学院院士、北京大学副校长张平文介绍，北京大学与莫斯科大学共同牵头成立了中俄数学中心，两国数学家以国际顶尖数学学派的建设为目标，围绕多个优势的领域组建了多支高水平的国际合作团队。

下面将选取要点，或比较有趣的内容，或比较适合理解的内容简单介绍波兰数学学派的人物。(待续)