不过「任何」函数牵涉到函数到底是什么,这一点傅里叶也说不清楚。函数观念的澄清是狄利克雷(1805-1859)研究傅里叶论文后的重要贡献。他认为函数 是一个规则,它告诉我们变数 x 之值固定了,其相应唯一的 t=f(x) 之值是什么。 不一定要是一个式子,它只要能说明 x 到 y 之间的对应是什么就好了。所以函数不一定是幂级数,也不一定是三角级数;反过来,数学家要研究的是:怎样的函数可表为幂级数?表成为三角函数?
每一函数都有它的对应规则,这些规则的表现方法至少有三种:式子、图形、函数表,f(x)=x^2+x+1 是个式子,但其实它代表一段叙述,说明 x 与 y=f(x) 的对应,只是我们太习惯于多项式所代表的意义,就认为它是个式子。f(x)=sinx ,f(x)=[x](高斯函数)等也一样,开始时是一段叙述,久了就成为式子。除了「明」的式子外,还有些「暗」的式子。暗的式子指的是以参数函数、隐函数、微分方程式、积分方程式等来表示自变数 x 与他变数 y 之间的数学关系(不一定是单值的对应)。怎样化暗为明自然是重要的课题。