因为塔尔塔利亚是一个文艺复兴时期的典型人物,有时候更乐于追寻快乐,而非醉心于学识的精进,那时的人总是对数学谜题充满了强烈的兴趣。不管是安东尼奥·菲奥尔(Antonio Maria del Fiore)还是吉罗拉莫·卡尔达诺(Girolamo Cardano),要不是他们的嬉戏最终扬帆起航,驶向全新的世界,来到一整片数学的未知之地,这些数学家的名字也早已被历史遗忘。
方程的现代标记法是从哪里来的?谁首先想到用 x 来指称未知数?谁发明了 + 、- 、= 等符号?第一个给未知数命名的是古希腊的丢番图,我们上文介绍费马大定理的时候就提到过他。不难想象,要命名一个未知数,即我们不知道的东西,对最早的数学家来说并不是什么理所当然的事。丢番图将它称为 arithmos ,即希腊语里的“数”【法语里的 arithmétique(算术)就是由此而来】,并且写下了包含用各种字母书写的未知数和数字的问题。题目的已知条件和证明都是用相当累赘的句子来表达的……
丢番图的传统随后由中世纪的阿拉伯数学家继承,后者改变了用词。公元 9 世纪,花拉子米将未知数称为 shay ,意为“东西”。文艺复兴时期的意大利代数学家也使用了同一个词——意大利语里的 cosa 。当时深受阿拉伯影响的安达卢西亚人把这个词用拉丁字母写作 xay 。勒内·笛卡尔(René Descartes,1596-1650)完成了最终的简化动作,只保留了 xay 的首字母。于是,字母 x 就找到了在数学中的位置,后来又在法律界大展拳脚,并且保留了“被人们寻找的东西(或数字、人)”的意义。
与此同时,从弗朗索瓦·维埃特(François Viète,1540-1603)开始,标记法也逐渐适应了用字母——即用未知字母或甚至已知字母——表示的计算。人们渐渐习惯了最早的 x 、y 、z 等,以及接下来的 a 、b 、c 等。运算符号(+ 、- 、× 等),表示相等的符号(=),还有表示不等的符号(< ,>),指数的写法( x^2 、x^3 等)也出现了。就这样,现代标记法在 18 世纪成形了。为了简便起见,在这章里,哪怕谈到阿拉伯和意大利代数学家更早的研究时,我们也会使用这些符号。
写在笔记本上的解法
为什么我们没有绝对的证据来证明费罗解开了普遍意义上的三次方程?因为他没有正式公布,而是将自己的发现写在了一本笔记本上,只有身边的亲友才有机会一睹为快。这种做法其实在当时很常见,代数挑战盛行于世,常常伴随着经济或职业上的奖励,因为比赛的奖励往往就是在大学任教的教职。但是那个时代有一种提前出现的 Dolce Vita 之风(意大利语里的“甜美的生活”,指一种放松随意的生活方式),奖赏也有可能是一场飨宴……
费罗把三次方程的解法告诉了一个有点多嘴的女婿,后者又传给了他的朋友安东尼奥·玛利亚·德尔·菲奥尔(Antonio Maria del Fiore)。菲奥尔对此保持缄默,一直等到费罗去世,在参加数学比赛时,使用了费罗的秘密武器,当时的比赛经常会出现由三次方程支配的题目。然而在一次挑战中,他与尼科洛·塔尔塔利亚对阵,就是我们上文提到的诗歌的作者。其实他真名叫丰塔纳,塔尔塔利亚是他的诨号,意为"结巴",他在 1512 年法国军队围困布雷西亚时受了伤,导致口吃。塔尔塔利亚是一个比赛狂人,而与菲奥尔的狭路相逢马上就有了决战紫禁之巅的意味。
邦贝利原本可以止步于此,因为该方程并没有实数解!然而,他有了一个疯狂而天才的念头,就是继续计算下去,就好像 -121 有平方根一样。他记下了 11√(-1) ,然后根据这个数得到了 U 和 V ,以及 u 和 v 。邦贝利发现,x=u+v 能简化为 x=4 ,验证了方程 x^3=15x+4 。这样一来,一个针对不可能的数的理论上荒谬的计算,如我们开始说的,就能得到一个精确的结果(方程也承认其他两个负数解 x=-2±√3 ,但是邦贝利忽略了,因为他只对正数解感兴趣)。
我们将这一特点总结为,复数域是代数封闭的。更确切点说,所有实系数或复系数 n 次代数方程在复数域里都正好有 n 个不同的或混合的解。这一结果被称为代数基本定理。由阿尔贝特·吉拉尔(Albert Girard,1595-1632)首先设想出来,随后由高斯证明。令人惊奇的是,虽然这是一个纯代数结果,但证明它却利用了解析法。
作者介绍
埃尔韦·莱宁(Hervé Lehning),法国数学研究者。1976 毕业于里昂高等师范学院(ENS Lyon),获得数学学位。同时,他还是一家保险公司的计算机分析员。自 1981 年以来,他一直在巴黎百年老校詹森·德萨伊(Janson de Sailly)中学教数学,并在巴黎中央理工学院(Ecole Central de Paris)教计算机科学。他写了几本关于计算机在数学中的应用及其教学的书和文章。闲暇时候,他特别享受攀岩、登山和平静的家庭生活。他对密码学充满热情,是一位成功的普及者,著有《密码的世界:从古代到互联网》(2012),主编《数学史一千年》(2005)、《代数方程》(2005)、《变形:从几何到艺术》(2009)等作品。