直觉是科学研究的灵魂

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直觉是科学研究的灵魂

原创 曹广福 曹广福的数学茶馆 2018-12-23 12:39

1、直觉的重要性。

      我们在人才培养过程中往往注重基本功的训练，忽略了直觉的培养。

      日常生活中，我们习惯于利用直觉来判断某些事情，虽然我们不能把直觉当成事实，但直觉可以帮助我们沿着正确的方向寻找真相。生活中的直觉来自本能与生活经验，一个全然没有直觉的人不是天生的二百五就是温室里长大的弱苗，很难适应社会。

       科研工作中直觉也是十分重要的，Weyl 曾这样评价 Hilbert（凭多年前的记忆，或许不准确）：“他就像一条嗅觉灵敏的狗，能够敏锐地发现哪里有骨头并奋不顾身地猛扑上去。”我想 Weyl 说的正是 Hilbert 对数学的直觉。科学研究中的直觉来自哪里？来自学生阶段的科学训练，这种训练并不仅仅体现在研究生完成论文的过程中，更重要的是老师通过课堂教学，帮助学生培养科学直觉，因为科学上的直觉源于科学素养与眼界，有一定的科学素养才有可能具备科学上的直觉。研究生阶段的课程固然对培养学生的直觉发挥了重要作用，但科学素养的训练绝对不是从研究生开始的，事实上，对于绝大多数的学科而言，研究者都是吃青春饭的，如果在本科阶段没有养成良好的思维习惯与科学素养，到了研究生阶段恐怕更难补上“直觉”这一课，从这个意义上说，高水平教授更应该从事本科生教学工作。

2、课堂教学中直觉的培养。

       课堂教学与科学素养有着什么样的关系？简而言之，科学素养蕴含在课程中，就看教师有没有水平将它挖掘出来。我们以号称泛函分析中哥德巴赫猜想的不变子空间问题为例，看看如何通过对这一问题的剖析训练学生分析问题的方法。大部分的泛函分析教材都会介绍不变子空间问题，但都是简单地叙述，至于这个问题为什么会出现？其重要性体现在哪里？教材很少涉及，老师的作用是需要说清楚这个问题的前世今生，学生学会了分析问题的方法，自然就有了直觉。

       我们可以从矩阵的特征值及特征子空间出发，说明矩阵的特征值及特征子空间与矩阵结构（若当标准型）的关系，然后转向无限维空间上的线性变换—算子，通过具体的例子说明为什么矩阵的特征值方法不再适用于分析算子的结构（算子可能没有特征值）。这里的关键是如何从特征子空间的某些特性抽象出不变子空间的概念。矩阵作用在特征向量上只会使向量的长度发生变化，不会使向量旋转。由此可见，特征子空间在矩阵的作用下不会发生维度的变化，向量不会跑出特征子空间外去，于是不变子空间的概念呼之欲出了。我们可以进一步引导学生去思考，除了特征子空间，还有没有在矩阵作用下不会发生维度变化的其它子空间（由两个不同特征子空间生成的子空间在矩阵作用下同样不会发生维度变化，但会发生向量旋转的现象）？由此展开，可以进一步引导学生思考不变子空间能否充当矩阵情形下特征子空间的角色？换句话说，可不可以像矩阵的若当分解那样构造出算子的某种分解？如果老师对不变子空间研究的历史有足够的了解，可以将与此问题有关的一幅精彩的泛函分析历史画卷展现在学生面前。不变子空间的发现过程恰恰是容易被老师们忽略的，也许大部分的老师习惯于直接介绍不变子空间概念而忽略了这个概念的发现过程，学生自然不了解不变子空间问题为什么重要，更不可能从发现问题的过程中享受到快乐。

3、教育中存在的问题。

       中国的人才培养中存在的根本问题是什么？中国为什么出不了大师？体制、考核指标上存在的问题差不多是秃子头上的虱子，但身为教师，是否真的想过，我们在教育问题上是否也有不可推卸的责任？我们在创造 SCI 、挖空心思拿项目的同时是否想过，教育与科研谁本谁末？我们的主要精力到底放在哪里？我们从事的研究是否真的对教学有重要意义？我们除了会创造 SCI ，对我们从事的领域了解多少？我们真的具备了足以让我们胜任教学的科学素养吗？有人认为教学与科研是高校的两个重要方面，忽视了哪个方面都是不对的，那么，高校存在的意义是什么？高校是因为教育而存在还是因为科研而存在？如果是后者，那高校与科研院所有什么不同？

       无论是重点大学还是地方大学，在教育问题上都存在着许多有待改进的方面，即使是地方大学的学生，他们中的绝大多数将在毕业后直接走向工作岗位，也存在知识能否学以致用的问题。遗憾的是，我们的学生往往将书本知识与实际严重脱节了开来。这就好比一边是要干的活，一边是现成的工具，学生也认识这是什么工具，可就是不知道拿起身边的工具来干好眼前的活，或者不知道如何用身边的工具干好眼前的活。这不是学生的错，是老师只告诉了学生这是什么工具，但没有告诉学生这个工具可以用来干嘛。这样的现象恐怕带有一定的普遍性，学生面对问题没有丝毫的感觉，请问这样的知识学来何用？仅仅为了提高素质么？这样的素质不要也罢。

       我们的传统教育理念也许有可以改进的地方，我们习惯于告诉学生你做得像不像，画临摹得越像越有水平，课堂上先讲解几道例题，然后布置几道习题，看学生能否模仿例题的方法作出解答。这大概是我们课堂教学的常态。这样的教育可以培养出基本功比较强的解题高手，能否培养出大师就不好说了。

       创造力来自哪里？我认为来自敏锐的直觉。