脑洞大开的数学：一盏灯如何照亮任何房型的每个角落

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脑洞大开的数学：一盏灯如何照亮任何房型的每个角落

作者 | 杰罗姆·科唐索

来源 | 图灵教育

你要租房，于是中介领着你来到最时髦的小区。中介没骗人，这套房看起来就像一件当代艺术作品。但如果你想要方正的户型、笔直的走廊，那还是换一个吧，这房子曲曲折折和迷宫似的。更引人注目的是，所有的墙上都挂满了镜子。中介非要说这样有好处，因为从房间里任何一处都能看见客厅或者卫生间，而且开一盏灯就能照亮整个屋子。

但你还是有点顾虑。就算房间里挂满镜子，真的随便在哪里开一盏灯就能照亮整套房吗？如果房子是 L 形的，这方法应该可行，站在角落也能从镜子里看到其他地方。但任何房型都能做到吗？

要回答这个问题可不容易。20 世纪 50 年代末，当时爱因斯坦的助手——数学家恩斯特·施特劳斯就曾提出过“镜屋问题”。但直到 1969 年，维克多·克利才发表了“镜屋猜想”。两个等待解答的问题是：

●  所有多边形镜屋都能从房里任意一点整个照亮吗？

●  所有多边形镜屋都能从房里至少一点整个照亮吗？

令人吃惊的是，这些问题还没有令人满意的解答。第一个问题依然处于猜想阶段，而对第二个问题的回答则饱受批评。我们来看看为什么。

01 彭罗斯台球桌

最早为镜屋问题给出间接解答的是 1958 年 12 月 25 日发表在《新科学家》杂志上的一篇文章。彭罗斯父子——莱昂内尔·彭罗斯和罗杰·彭罗斯怕大家在圣诞节闲得没事做，便提出了好几个谜题。其中一个问题值得我们注意：是否有可能造出一张台球桌，有 A 和 B 两个区域，从 A 区域击出的球永远不可能到达 B 区域（反之亦然）？

这个台球桌没有洞，而且没有摩擦力，不会影响球的运动轨迹。如果有个房间和这种台球桌同样形状，那正好是施特劳斯第一个镜屋问题的非多边形反例，因为球的轨迹可视为光线在每面镜子之间的反射光路。彭罗斯父子利用一种几何形状——椭圆的光学性质回答了这个问题。椭圆就好像压扁的圆，其定义为到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合，这两个定点称为椭圆的焦点。

椭圆形台球桌有非常特别的性质：如果我们把球放在一个焦点上，而洞在另一个焦点，那从数学上说，球必进洞无疑（图 2.1）；而如果我们把球放在两焦点连线的线段上，则球的反弹轨迹必定与此线段相交。正因为椭圆有这样的性质，我们可以构建出“彭罗斯台球桌”（图 2.2）。


图 2.1　椭圆形台球桌

如果球从一个焦点（紫色）出发，则必然经过另一个焦点。如果球在两焦点连线线段上，则球的轨迹必与此线段相交。


图 2.2　彭罗斯台球桌

从 B 区击出的球永远不可能达到 A 区，反之亦然。

椭圆形台球桌的实际情况要比这个理想的数学模型复杂得多，因为除了初始运动方向，很多因素都会影响球的运动轨迹。击球速度和球杆与球的碰触位置也会影响球的反弹角度。

1978 年，杰夫里·劳赫发表了文章《有界域的照明》（Illumination of Bounded Domains），优化了彭罗斯父子的模型，提出了一种“迷你高尔夫球场”模型，要一定杆数才能让球进洞（图 2.3）。有此形状的房子就是施特劳斯的第一镜屋问题的非多边形反例，因为无论把灯放在哪里，都会有照不到的区域。


图 2.3　劳赫的“迷你高尔夫球场”模型

高尔夫球不可能借助反弹一杆进洞，至少需要 5 杆才能完成，此模型可以推广。

不管怎么说，这些模型都没能真正解答施特劳斯的镜屋问题，因为它们都含有椭圆或圆的弧，而问题里说的是多边形。

02  托卡尔斯基黑屋

直到 1995 年，镜屋猜想的真正反例才浮出水面。让多边形的镜屋中有照不到的点是完全可能的，只要找到特别的光源点。


图 2.4　托卡尔斯基和卡斯特罗的黑屋模型

如果在点 A 点燃一根火柴，点 B 依然会处于黑暗之中，反之亦然。观察一下光路就知道，从点 A 出发的光线会从点 B 旁边通过，但永远不会经过点 B。

加拿大人乔治·托卡尔斯基给出了第一个反例。这是一个 26 边形，每个角都是 45° 或 90° ，如果将点光源放在一个特定点上，那么整个屋子有一个点肯定照不到（图 2.4）。这个模型太过特殊，因为只要移动点光源分毫，整个屋子都会被照亮。两年后，D. 卡斯特罗优化了这一模型，将 26 边缩减为 24 边，其他性质不变。直到今天还没有出现边数更少的模型。

这是怎么得出的呢？为了理解这个问题，我们先考察一下正方形镜屋 ABCD 中会有怎样的光路。假设一束激光从顶点 A 射出，如果照到其他任何一个顶点，必会原路反射回来，或者被视为吸收了也可以，反正不影响光路。如果光线射到正方形的一边，那就会发生反射，而且遵循反射定律，即反射角等于入射角。

这一现象也可以解释为：光线射到正方形的一边后，在下一相同正方形镜子中沿直线传播。如果把正方形镜屋复制为无穷多的方格，那么在正方形内折来折去的光路也可以被视为无穷多方格中穿过的一条直线。从点 A 发出的光若要回到点 A ，或者说，这条光若想经过点 A 到达无穷多复制方格中的另一个点 A ，则必须至少一次经过 B 、C 和 D 三顶点之一（图 2.5）。


图 2.5　正方形 ABCD 里的光路图

从点 A 射出的光线要回到点 A ，必须要经过其他顶点。如果把光路视为无穷多方格里的一条直线，就好理解多了。

利用这种性质，我们可以制造一个无法全部照亮的黑屋，方法是将正方形 ABCD 以对称的方式重复多次，让所有顶点 B 、C 、D 都处于房间的角落（图 2.6）。而有两个顶点 A 不在角落。这样一来，如果光线从这两个点 A 中的一点出发，要到达另一点，必须经过其他顶点至少一次。但所有其他顶点都在角落里，光线照到这些顶点就会沿原路反射回去，永远不可能到达另一个 A 点。于是，我们构造出了一个多边形黑屋，其中至少有两点，从这两点出发的光线无法把屋子全部照亮。


图 2.6　32 边形的黑屋

这座黑屋以正方形为基础构造而来。黑屋里有两点，从这两点出发的光线无法照亮整个屋子。从蓝色点 A 出发的光线要到达另一个蓝色点 A' ，必然要经过其他颜色的顶点。但这些点都在角落，照到它们的光线只会反射回起点 A 。

以同样的方式，我们可以构建出其他黑屋，让其中无法照亮的点多于两个。

不仅正方形可以用来构建黑屋，一些特殊的三角形也可以。26 边形或 24 边形黑屋正是由此而来。托卡尔斯基在文章中还提出了无直角多边形黑屋，用内角为 9° 、72° 和 99° 的三角形构造而成。


图 2.7　无直角多边形黑屋

总之，施特劳斯提出的问题看似复杂，却引出了出人意料的几何图形。但根本问题还是没有得到解答：是否能画出一个房间，从其中任意一点出发的光线都无法把整个房间照亮？是否能找到一个区域，而不是一个点，从该区域无法把整个房间都照亮？多边形“迷你高尔夫球场”中是否存在一个洞，至少需要三杆才能把球打进去？这些问题看似不可能解决，但人们一直等待着某位数学家进行深入研究。



《数学也荒唐》

作者：[法] 杰罗姆·科唐索

译者：王烈

出版社：人民邮电出版社

出版时间：2017-08

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